Характер разрыва монотонной функции

Теорема: Пусть на [a;b] задана не убывающая функция y = f(x). Тогда в любой - данного отрезка функция f(x) либо непрерывна либо имеет разрыв первого рода.

Доказательство

∊ (a;b)

Рассмотрим в -0, при этом все последовательности, ограничены сверху f(x)≤f()

lim f(x)<f()

x

Последовательность сходящаяся справа: x⇾

f(x)≥f()

lim f(x)≥f()

x

f( - 0)≤f()≤f()

f(a) ≤ f(a+0)

f (b) ≥ f (b-a)

Таким образом, теорема доказана.

Теорема: Для того чтобы монотонная функция на [a;b] была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она принимала все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Лемма 1: Если непрерывная на отрезке [a;b] функция y = f(x) на концах отрезка принимает значения разных знаков, то ∃℥ ∊ [a;b], в которой f(℥) = 0

f∊C[a;b] – f непрерывна на [a;b]

f(a)·f(b)<0 => ∃℥∊[a;b]: f(℥) = 0

Лемма 2: Если f(x) непрерывна в и f() ≠ 0, то в некоторой окрестности

Доказательство

∀ε>0 ∃𝛿>0 ∀x∊( +𝛿) y

ε =

|f() – f()|<ε f()

f() – ε < f(x) < f() + ε 2ε

x

Что и требовалось доказать.

Теорема: Если y = f(x) непрерывна и монотонна на [a;b], то она имеет обратную, которая также монотонная и непрерывная на отрезке [f(a); f(b)] или [f(b); f(a)]

Следствие всех теорем, а также и пределов сложных функций является непрерывность всех элементарных функций на своей области определения.

Ограниченность. Существование наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывных на отрезке (компакте)

Теорема: Пусть y = f(x)- непрерывна на [a;b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое n>0, что |f(x)|<M ∀x∊[a;b]

f() - ε≤f(x)≤f() + ε

x ∊ (ε + 𝛿;

а b

Пусть - любая.

По т. Гейне Бореля существует конечное покрытие отрезка [a;b].

()

()

…

()

f() - ≤ f(x) ≤ f() +

1 ≤ i ≤ n

Дата добавления: 2015-03-29