Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранджа

Пусть в окрестности точки а функция f(x) имеет производную до (n+1)-го порядка включительно.

n- произвольное N число, тогда имеет место Тейлора.

p- произвольное положительное число

℥∊[а;x]

f(x)=[f(a)+ (x-a) + (x-a)²+…+ (x-a)ⁿ]+R_n+1(x)

где R_n+1(x)= ℥

R_n+1 – остаточный член.

P_n(x,a)=f(a)+ (x-a)+…+ ⁿ

Доказательство:

R_n+1(x)=f(x)- P_n(x,a) Подставим t: t∊[а;x]

= f(x)- P_n(x,t) – (x-t)^pQ(x),

Где Q(x)=

Утверждение: На отрезке [a;x] функции удовлетворяет условию теоремы Ролля

а) Проверка дифференцирования

f(x) – диффер.

P_n(a,t) – диффер (по условию)

(x-t)^p – степен. Функция

Q(x) – диф. По условию

б) Проверка непрерывности

Не прерывна, т.к. имеет производную

= f(x)- P_n(x,a) – (x-a)^pQ(x)=f(x) - P_n(x,a) - R_n+1(x)=0

= f(x)- P_n(x,x) – (x-x)^pQ(x)=f(x)-f(x)- (x-x)-…- ⁿ - 0=0

ð На концах совпадает =>

Существует такая точка ℥ в которой f’(℥)=0

℥ ∊[а;x] ’(℥)=0

При дифференцировании функции Поставим вместо точки t - ℥. Тогда f’(℥) заменим на 0. И из полученной формулы выразим R_n+1

=f(x)- f(t)- - - (x-t)²-…- (x-t)ⁿ-(x-t)^pQ(x)

= 0 – f’(t) – (x-t)+ – (x-t)²+ *2(x-t) - (x-t)³+ *3(x-t)²-…-

- (x-t)ⁿ + *n*(x-t)^n-1+p(x-t)^p-1*Q(x)= p(x-t)^p-1*Q(x)- - (x-t)ⁿ

Подставим =0, t = ℥.

0= p(x-℥)^p-1*Q(x)- - (x-℥)ⁿ

Q(x)= =

Q(x)= =>

Q(x)= =

R_n+1(x)=

Что и требовалось доказать.

℥∊[а;x] ℥=a+𝜣(x-a) 0 ≤𝜣≤1

Дата добавления: 2015-03-29