Линейные операторы и матрицы линейных операторов

Отображение линейного пространства в линейное пространство

называют линейным преобразованием или линейным оператором, если оно удовлетворяет двум условиям:

а)

для всех ; (3.5.1)

б)

для всех и любого . (3.5.2)

Если отображение переводит вектор в некоторый другой вектор :

, (3.5.3)

то вектор называют образом вектора , а - прообразом вектора .

Линейный оператор, отображающий линейное пространство само в себя, называется линейным оператором в .

Пусть и . Рассмотрим, как связаны в этом случае координаты векторов и . Будем ориентироваться сначала на базис . Очевидно при этом, что

; (3.5.4)

. (3.5.5)

Рассмотрим прежде всего, как действует оператор на элементы базиса. Пусть

(3.5.6)

Из соотношений (3.5.3) и (3.5.4) следует

. (3.5.7)

Учтём (3.5.6):

. (3.5.8)

Сопоставляя это равенство с (3.5.5), получим

. (3.5.9)

Запишем этот результат в матричной форме:

, (3.5.10)

где, как и раньше, и - координатные вектор-столбцы соответствующих векторов в базисе , а матрица

(3.5.11)

называется матрицей оператора в базисе . Элементы её столбцов по построению - это координаты векторов в базисе . Аналогично вводится понятие матрицы того же оператора в некотором другом базисе .

Рассмотрим теперь, как изменяется матрица оператора при замене базиса в пространстве . Пусть, как и прежде, и матрица , в соответствии с (3.5.10), связывает между собой координатные столбцы векторов и в базисе .

Согласно ранее полученным результатам - соотношениям (3.4.16),

(3.5.12)

и

. (3.5.13)

Из этих двух соотношений и (3.5.10) легко выводится равенство

, (3.5.14)

где

. (3.5.15)

Эта формула позволяет связать между собой матрицы одного и того же оператора в различных базисах. В математике такие матрицы называются подобными. Ранее (п.2.4.3) уже отмечалось, что подобные матрицы имеют одинаковые собственные числа.

ПРИМЕР 3.5.1. Пусть имеется базис (рис. 3.4).

1. Зададим оператор его действием на векторы базиса :

Тем самым мы определили матрицу оператора в базисе :

.

2. Зададим вектор в базисе :

.

Отсюда

.

3. Рассчитаем координатный вектор, используя (3.5.14):

.

4. Введем новый базис :

Тогда матрица перехода от базиса к базису будет иметь вид

.

5. Определим матрицу оператора в базисе :

.

6. Найдём координатный столбец вектора в базисе . В соответствии с рис. 3.4

.

С другой стороны, согласно (3.5.12)

. (3.5.16)

Оба подхода дают один и тот же результат:

.

В итоге получим координатный столбец вектора в базисе :

.

ПРИМЕР 3.5.2. Дана матрица оператора в базисе :

и два вектора - и , координатные столбцы которых в том же базисе имеют вид

; ,

то есть

Примем эти векторы в качестве нового базиса и вычислим в нём матрицу оператора . Для этого выполним следующие действия.

1. Составим матрицу перехода от базиса к базису :

.

2. Вычислим обратную матрицу:

.

3. Вычислим матрицу :

.

Дата добавления: 2015-03-31