Замена базиса в линейном конечномерном пространстве

Линейное пространство R называется конечномерным, а число – числом измерений этого пространства или его размерностью (), если в R существует линейно независимых векторов, в то время как любые векторов в линейно зависимы.

Система из линейно независимых, заданных в определенном порядке векторов в -мерном пространстве называется базисом этого пространства.

Если каждый из векторов базиса ортогонален любому другому вектору этого базиса, т.е. их скалярные произведения равны нулю, то такой базис называется ортогональным. Если, кроме того, модуль каждого вектора базиса равен единице, то базис называется ортонормированным.

Векторы , где - любой вектор из , линейно зависимы, так как их . Отсюда справедливо равенство

, (3.4.1)

откуда

. (3.4.2)

Здесь

- координаты вектора в базисе .

Столбец

(3.4.3)

называют координатным столбцом вектора в этом базисе.

- вектор в пространстве, и только если в этом пространстве выберем базис, то возникает понятие координатного вектор-столбца . Если установим другой базис, то ему будет соответствовать другой координатный вектор-столбец.

Пусть в -мерном пространстве задано два базиса:

и

.

Так как это векторы одного и того же пространства, то каждый из векторов базиса можно разложить через векторы базиса :

(3.4.4)

Коэффициенты (здесь –номер координаты, а –номер раскладываемого вектора) можно представить в виде квадратной матрицы

, (3.4.5)

или

. (3.4.6)

Столбцы матрицы – это координатные столбцы векторов базиса в базисе .

С учетом введенных обозначений систему равенств (3.4.4) можно записать в виде

. (3.4.7)

Можно ещё более упростить (укрупнить) эти равенства, используя понятия блочных матриц:

(3.4.8)

или, в итоге,

. (3.4.9)

Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису . Так как невырожденная, то

, (3.4.10)

где матрица

(3.4.11)

называется матрицей перехода от базиса к базису .

ПРИМЕР 3.4.1. Пусть в R² задан базис векторами (рис. 3.3).

Введем базис следующим образом:

Запишем матрицу перехода от базиса к базису :

.

Найдем обратную матрицу

и, в соответствии с (3.4.10), получаем

.

Этот результат подтверждается анализом рис. 3.3.

Рассмотрим, как связаны между собой компоненты (координатные столбцы) одного и того вектора в разных базисах. В соответствии с (3.4.2)

(3.4.12)

и

. (3.4.13)

Приравнивая правые части последних двух равенств, получим

, (3.4.14)

а с учётом (3.4.9)

. (3.4.15)

Окончательно получаем

. (3.4.16)

Дата добавления: 2015-03-31