Канонические представления систем

3.8.1.Управляемое каноническое представление системы
со скалярным входом

Пусть в некотором исходном базисе пространства состояний записаны уравнения движения объекта со скалярным управлением:

; (3.8.1)

. (3.8.2)

Более общая запись связывает не координатные столбцы, а сами векторы в с помощью соответствующего оператора :

. (3.8.3)

Если система управляема, то n векторов образуют базис в пространстве X в силу того, что . Следовательно, в пространстве X в качестве базиса может быть выбрана следующая сис­тема векторов:

(3.8.4)

Пусть характеристический полином оператора , а значит, и его матрицы в преобразованном базисе имеет вид:

. (3.8.5)

Построим ещё один базис - базис следующим образом:

(3.8.6)

Проверим, действительно ли это базис? Матрица перехода от базиса к базису в соответствии с (3.4.4) и (3.4.5) имеет вид

. (3.8.7)

Эта матрица является треугольной, её определитель равен про­изведению диагональных элементов, умноженному на , т.е. не ра­вен нулю. Следовательно, не вырождена и система векторов действительно образует базис в пространстве X.

Вычислим теперь представление матрицы оператора в базисе . При этом воспользуемся равенством

. (3.8.8)

С учётом (3.8.6)

(3.8.9)

По теореме Кэлли-Гамильтона , а значит, , откуда следует, что и при , то есть

. (3.8.10)

Далее действуем аналогичным образом:

, (3.8.11)

откуда следует, что , то есть

.

Далее:

, (3.8.12)

откуда следует, что

,

то есть

.

Вычислим предпоследний столбец матрицы:

, (3.8.13)

откуда следует, что для , , и , то есть

.

Наконец,

, (3.8.14)

откуда следует, что для ,

то есть

.

Таким образом, матрица оператора в базисе имеет вид

. (3.8.15)

Так как , то есть является последним вектором базиса , то координатный столбец вектора в этом базисе

. (3.8.16)

Пара называется управляемым каноническим представле­нием (УКП) системы с одним (скалярным) входом. Матрица называется сопровождающей по отношению к полиному .

Таким образом, мы доказали, что если исходная система управ­ляема, то в пространстве состояний Х существует базис, в котором пара имеет управляемое каноническое представление.

Если в некотором исходном базисе заданы матрицы и если система управляема, то для того, чтобы вычислить их (матриц) УКП, достаточно вычислить коэффициенты характеристичес­кого полинома . После этого может быть вычислена матрица пре­образования от исходного базиса к УКП в соответствии с (3.7.8):

. (3.8.17)

Далее индекс “h” для системы в исходном базисе будем опускать.

ПРИМЕР 3.8.1. Для системы

известны матрицы

.

Нетрудно вычислить матрицу

.

Её определитель , откуда следует, что система управляема и, значит, для неё существует УКП. Вычислим характеристический полином:

.

Это позволяет сразу же записать матрицы A и B в базисе УКП:

.

Векторно-матричные уравнения системы в УКП имеют вид

Для того чтобы найти матрицу , требуется рассчитать матрицу перехода от исходного базиса к базису УКП. Для этого предварительно вычислим

и .

Тогда искомая матрица

, .

После этого в соответствии с (3.6.8) находим

.

3.8.2.Передаточная функция и структурная схема для системы
в УКП

Уравнения системы

(3.8.18)

со скалярным входом и скалярным выходом , где матрицы и определяются выражениями (3.8.15) и (3.8.16), а матрица имеет вид

, (3.8.19)

можно записать в развёрнутом виде:

(3.8.20)

. (3.8.21)

Этим уравнениям соответствует схема, представленная на рис.3.7.

В соответствии с этим рисунком передаточная функция системы имеет вид

(3.8.22)

Отметим, что статический передаточный коэффициент

. (3.8.23)

3.8.3.Идентификационное каноническое представление системы
с одним (скалярным) выходом

С помощью рассуждений, аналогичных проведённым в п.3.8.1, можно получить следующие результаты.

Если пара матриц полностью наблюдаема, то в прост­ра­нстве состояний Х всегда существует базис, в котором пара имеет идентификационное каноническое представление (ИКП):

; (3.8.24)

. (3.8.25)

Отметим, что

. (3.8.26)

Если в некотором исходном базисе заданы матрицы и если система полностью наблюдаема, то, для того чтобы вычислить их (матриц) ИКП, достаточно вычислить коэффициенты характеристичес­кого полинома . После этого может быть вычислена матрица пре­образования от исходного базиса к ИКП в соответствии с (3.7.13):

. (3.8.27)

Если известна матрица при векторе управления в исходном базисе, то с учётом (3.6.8) в базисе ИКП она может быть определена с помощью соотношения

. (3.8.28)

Дата добавления: 2015-03-31