Властивості еліпсоїда

1. Еліпсоїд не проходить через початок координат, бо координати точки не задовольняють рівняння (1).

2. Еліпсоїд перетинає кожну із координатних осей у двох точках, симетричних відносно початку координат, а саме:

вісь у точках і ,

вісь у точках і ,

вісь у точках і .

Ці точки називаються вершинами еліпсоїда, відрізки – осями еліпсоїда, числа – півосями еліпсоїда.

3. Еліпсоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

4. Із рівняння (1) випливає, що , тобто , або .

Це означає, що еліпсоїд є обмеженою поверхнею, яка міститься всередині прямокутного паралелепіпеда, обмеженого площинами:

5. Якщо еліпсоїд перетнути площиною , паралельною площині , то в перетині утвориться еліпс, рівняння проекції якого на площину у системі координат цієї площини має вигляд:

або .

Розміри цього еліпса збільшуються із зменшенням і зменшуються із збільшенням .

Аналогічна ситуація ма­ти­ме місце і при перетині еліп­соїда площинами, пара­лель­ними до інших коор­ди­нат­них площин.

Виходячи із цих влас-тивостей, можна побуду-вати зображення еліпсоїда (рис. 7.17).

Якщо у рівнянні (1) два параметри рівні між собою, наприклад, а=b, то отримаємо поверхню обер-тання – еліпсоїд обертання:

, або .

Ця поверхня утворена внаслідок обертання еліпса з півосями а, с навколо осі OZ.

Якщо ж a=b=c, то із (1) матимемо: , або .

Це рівняння сфери з центром у початку координат. Отже, сфера є частинним випадком еліпсоїда.

Справедлива й така теорема:

Дата добавления: 2015-03-31