Властивості однопорожнинного гіперболоїда

Аналізуючи рівняння (1), встановлюємо такі властивості даної поверхні:

1. Однопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.

2. Однопорожнинний гіперболоїд не перетинає вісь , а дві інші осі перетинає в точках, симетричних відносно початку координат, а саме:

– вісь у точках ,

– вісь у точках .

Ці точки називаються вершинами однопорожнинного гіперболоїда, а відрізки – дійсними осями однопорожнинного гіперболоїда. Відрізок називається його уявною віссю, числа – дійсними півосями, – уявною піввіссю.

3. Однопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, оскільки всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

Вісь називають головною віссю однопорожнинного гіперболоїда.

4. Якщо дану поверхню перетнути площинами , паралельними до площини , то в перерізі утворяться еліпси, рівняння проекцій яких на площину мають вигляд

,

або

.

Розміри цих еліпсів зростають із збільшенням .

Еліпс найменших розмірів утворюється при , тобто при перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною . Рівняння цього еліпса . Він називається горловим еліпсом однопорожнинного гіперболоїда (рис. 7.19).

Якщо однопорожнинний гіперболоїд перетнути площиною , де , то в перерізі утвориться гіпербола, рівняння проекції якої на площину має вигляд:

,

або

.

Якщо , то уявною віссю такої гіперболи є вісь .

Якщо , то уявною віссю є вісь .

Якщо , то в перерізі утворяться дві прямі, що перетинаються: (рис. 7.20).

Аналогічні перерізи утворюються і при перетині однопорожнинного гіперболоїда площинами, паралельними до площини .

Розглянемо поряд з однопорожнинним гіперболоїдом (1) конічну поверхню, задану рівнянням

. (2)

Ця поверхня не перетинається з однопорожнинним гіперболоїдом, бо система рівнянь

несумісна.

Оскільки цей конус проходить через початок координат, який міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда, то і весь конус міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда. Якщо обидві поверхні перетнути площиною , рівняння якої , то в перетині з гіперболоїдом отримаємо гіперболу

,

а в перетині з конусом – дві прямі: , які будуть асимптотами цієї гіперболи (рис. 7.21). Можна показати, що ця властивість конуса, пов’язана з однопорожнинним гіперболоїдом, залишається в силі і при перетині будь-якою іншою площиною, що проходить через вісь .

У зв’язку з цим даний конус називають асимптотичним конусом однопорожнинного гіперболоїда (рис. 7.22).

Рівняння і також задають однопорожнинні гіперболоїди з головною віссю відповідно та .

Дата добавления: 2015-03-31