Основные методы экологических исследований 2 страница

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с мая по де­кабрь 1920 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в пе­ри­од с пя­то­го по две­на­дца­тый месяц (с мая по де­кабрь) была в но­яб­ре и со­став­ля­ла 6 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 6.

4. B 4. В сред­нем граж­да­нин А. в днев­ное время рас­хо­ду­ет 120 кВт ч элек­тро­энер­гии в месяц, а в ноч­ное время — 185 кВт ч элек­тро­энер­гии. Рань­ше у А. в квар­ти­ре был уста­нов­лен од­но­та­риф­ный счет­чик, и всю элек­тро­энер­гию он опла­чи­вал по та­ри­фу 2,40 руб. за кВт ч. Год назад А. уста­но­вил двух­та­риф­ный счётчик, при этом днев­ной рас­ход элек­тро­энер­гии опла­чи­ва­ет­ся по та­ри­фу 2,40 руб. за кВт ч, а ноч­ной рас­ход опла­чи­ва­ет­ся по та­ри­фу 0,60 руб. за кВт ч. В те­че­ние 12 ме­ся­цев режим по­треб­ле­ния и та­ри­фы опла­ты элек­тро­энер­гии не ме­ня­лись. На сколь­ко боль­ше за­пла­тил бы А. за этот пе­ри­од, если бы не по­ме­нял­ся счет­чик? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим оба типа счётчи­ков.

При ис­поль­зо­ва­нии од­но­та­риф­но­го счётчика, граж­да­нин А. пла­тил в месяц

(120 кВт ч + 185 кВт ч) 2,4 руб. за 1 кВт ч = 732 руб.

При ис­поль­зо­ва­нии двух­та­риф­но­го счётчика, граж­да­нин А. пла­тит в месяц

120 кВт ч 2,4 + 185 кВт ч 0,6 = 399 руб.

Уста­нов­ка но­во­го типа счётчика поз­во­ля­ет эко­но­мить 732 − 399 = 333 руб. в месяц или 333 12 = 3996 руб. в год.

5. B 5. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния оси Oy и от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A (6; 8) и B (−6; 0).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

, .

Видно, что эта точка яв­ля­ет­ся ис­ко­мой.

Ответ: 4.

6. B 6. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

Ре­ше­ние.

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 3 + 4 = 10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

.

Ответ: 3.

8. B 8. В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке , вы­со­та равна 7, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

.

Ответ: 0,28.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках 1, 4, 9, 11 и ми­ни­му­мы в точ­ках 2, 7, 10. По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Ответ: 44.

10. B 10. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно , тогда пло­щадь по­верх­но­сти куба , а диа­го­наль куба . Тогда

.

Ответ: 3.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1,5.

12. B 12. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те м над землeй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до ви­ди­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 12 км. К пляжу ведeт лест­ни­ца, каж­дая сту­пень­ка ко­то­рой имеет вы­со­ту 20 см. На какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­пе­нек нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы он уви­дел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 44 ки­ло­мет­ров?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ний и при за­дан­ном зна­че­нии :

Сле­до­ва­тель­но, чтобы ви­деть го­ри­зонт на более да­ле­ком рас­сто­я­нии, на­блю­да­те­лю нужно под­нять­ся на 151,25 − 11,25 = 140 мет­ров. Для этого ему не­об­хо­ди­мо под­нять­ся на 140: 0,2 = 700 сту­пе­нек.

Ответ: 700.

13. B 13. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 4. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна , так как это пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

.

Ответ: 4.

14. B 14. Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 240-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым, тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста — км/ч, . Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Зна­чит, пер­вым фи­ни­ши­ро­вал ве­ло­си­пе­дист, дви­гав­ший­ся со ско­ро­стью 16 км/ч.

Ответ: 16.

15. B 15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: −4.

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Из дан­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Зна­чит, или от­ку­да или от­ку­да или

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) ; б)

17. C 2. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, а бо­ко­вые рёбра равны 3. На ребре от­ме­че­на точка так, что . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и .

Ре­ше­ние.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке . Плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой .

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую , тогда от­ре­зок (про­ек­ция ) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой . Угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и .

По­сколь­ку , по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом : ; ; , от­ку­да вы­со­та

.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с пря­мым углом по­лу­ча­ем:

.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гой форме: или

Ответ: .

18. C 3 Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

1. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай: Имеем:

си­сте­ма не имеет ре­ше­ния.

Вто­рой слу­чай: Имеем:

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

2. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3. Ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

19. C 4. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2 и 9 с цен­тра­ми и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке а боль­шую — в точке Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка если

Ре­ше­ние.

Точки и L лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), тогда точка лежит между точ­ка­ми и от­ку­да

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка лежит между точ­ка­ми и

Ответ: 3,5 или 5,5.

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде . Рас­смот­рим две функ­ции: и Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са 2 с цен­тром в точке ле­жа­щая в верх­ней по­лу­плос­ко­сти (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том , про­хо­дя­щая через точку

Урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, если гра­фи­ки функ­ций и имеют един­ствен­ную общую точку: либо пря­мая ка­са­ет­ся по­лу­окруж­но­сти, либо пе­ре­се­ка­ет её в един­ствен­ной точке.

Ка­са­тель­ная , про­ведённая из точки к по­лу­окруж­но­сти, имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, рав­ный нулю, то есть при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

Пря­мая , за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки и сле­до­ва­тель­но, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент

При пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет две общие точки с по­лу­окруж­но­стью. Пря­мая за­дан­ная урав­не­ни­ем за­дан­ная урав­не­ни­ем и сле­до­ва­тель­но, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент . При пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент боль­ше, чем у пря­мой и не боль­ше, чем у пря­мой , и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в един­ствен­ной точке. По­лу­ча­ем, что при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При пря­мая не имеет общих точек с по­лу­окруж­но­стью.

Ответ:

21. C 6. Про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа окан­чи­ва­ет­ся на 399 нулей. На сколь­ко нулей может окан­чи­вать­ся число ?

Ре­ше­ние.

Раз­ло­жим на про­стые мно­жи­те­ли:

где — наи­боль­ший про­стой мно­жи­тель и Если за­пись числа окан­чи­ва­ет­ся ну­ля­ми, то или или, на­о­бо­рот,

Оце­ним ко­ли­че­ство де­ли­те­лей числа

при этом де­лит­ся на

Пер­вый слу­чай. Если — чет­ное, то все де­ли­те­ли раз­би­ва­ют­ся на пар вида так, что про­из­ве­де­ние де­ли­те­лей в каж­дой паре равно По­это­му про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей равно

Вто­рой слу­чай. Если — не­чет­ное, то де­ли­те­лей раз­би­ва­ют­ся на пары ука­зан­но­го вида, и есть еще один де­ли­тель — В этом слу­чае тоже про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей:

Зна­чит, для лю­бо­го про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей окан­чи­ва­ет­ся ну­ля­ми, сле­до­ва­тель­но, При этом от­ку­да сле­ду­ет, что — де­ли­тель числа 798, и

Вы­пи­шем все такие Из ра­вен­ства также сле­ду­ет, что 798 де­лит­ся на . По­это­му воз­мож­но толь­ко и . Для каж­до­го из этих под­бе­рем Огра­ни­чим­ся про­сты­ми мно­жи­те­ля­ми 2 и 5. Зна­чит, нужно по­до­брать толь­ко и

Дата добавления: 2015-04-23