Основные методы экологических исследований 4 страница

Зна­чит, чтобы пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город, по­на­до­бит­ся 6 ав­то­бу­сов.

Ответ: 6.

2. B 2. Опто­вая цена учеб­ни­ка 170 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 20% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 7000 руб­лей?

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки учеб­ник будет сто­ить 170 + 0,2 170 = 204 рубля. Раз­де­лим 7000 на 204:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 34 учеб­ни­ка.

Ответ: 34.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Бре­сте каж­дый день с 6 по 19 июля 1981 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какая была тем­пе­ра­ту­ра 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 15 июля в Бре­сте было 19 гра­ду­сов тепла.

Ответ: 19.

4. B 4. В сред­нем граж­да­нин А. в днев­ное время рас­хо­ду­ет 120 кВт ч элек­тро­энер­гии в месяц, а в ноч­ное время — 185 кВт ч элек­тро­энер­гии. Рань­ше у А. в квар­ти­ре был уста­нов­лен од­но­та­риф­ный счет­чик, и всю элек­тро­энер­гию он опла­чи­вал по та­ри­фу 2,40 руб. за кВт ч. Год назад А. уста­но­вил двух­та­риф­ный счётчик, при этом днев­ной рас­ход элек­тро­энер­гии опла­чи­ва­ет­ся по та­ри­фу 2,40 руб. за кВт ч, а ноч­ной рас­ход опла­чи­ва­ет­ся по та­ри­фу 0,60 руб. за кВт ч. В те­че­ние 12 ме­ся­цев режим по­треб­ле­ния и та­ри­фы опла­ты элек­тро­энер­гии не ме­ня­лись. На сколь­ко боль­ше за­пла­тил бы А. за этот пе­ри­од, если бы не по­ме­нял­ся счет­чик? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим оба типа счётчи­ков.

При ис­поль­зо­ва­нии од­но­та­риф­но­го счётчика, граж­да­нин А. пла­тил в месяц

(120 кВт ч + 185 кВт ч) 2,4 руб. за 1 кВт ч = 732 руб.

При ис­поль­зо­ва­нии двух­та­риф­но­го счётчика, граж­да­нин А. пла­тит в месяц

120 кВт ч 2,4 + 185 кВт ч 0,6 = 399 руб.

Уста­нов­ка но­во­го типа счётчика поз­во­ля­ет эко­но­мить 732 − 399 = 333 руб. в месяц или 333 12 = 3996 руб. в год.

5. B 5. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

.

Ответ: 3.

6. B 6. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что к за­каз­чи­це при­е­дет зе­ле­ное такси равна

.

Ответ: 0,4.

7. B 7. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: −2,5.

8. B 8. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Ответ: 0,96.

9. B 9. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

Ответ: 7.

10. B 10. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

Ответ: 6.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0,5.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни моля воз­ду­ха объeмом л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма . Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем (Дж), где по­сто­ян­ная, а К — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 27 840 Дж?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной , тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль и объ­е­ма воз­ду­ха л:

л.

Зна­чит, объем, ко­то­рый будет за­ни­мать воз­дух, равен 3,5 л.

Ответ: 3,5.

13. B 13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 2, бо­ко­вое ребро равно 4. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь ос­но­ва­ния

.

Тогда объем пи­ра­ми­ды

.

Ответ: 12.

14. B 14. На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час вто­рой ра­бо­чий. Тогда пер­вый ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­таль. На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей, от­сю­да имеем:

.

Таким об­ра­зом, вто­рой ра­бо­чий де­ла­ет 10 де­та­лей в час.

Ответ: 10.

15. B 15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 4.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде

Зна­чит, или , от­ку­да или от­ку­да или

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель, ко­неч­но, узнал фор­му­лу си­ну­са трой­но­го угла:

17. C 2. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де за­да­ны длины ребер Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды если — точка на ребре при­чем

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды лежит в плос­ко­сти по­это­му вы­со­той пи­ра­ми­ды будет яв­лять­ся пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки на эту плос­кость. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую По­сколь­ку и в силу того, что от­ре­зок яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды:

Тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку зна­чит,

Ответ: 50.

18. C 3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Если то или При этих зна­че­ни­ях вы­ра­же­ние имеет смысл, по­это­му и яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства.

Если то при этом Тогда

С по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем: Учи­ты­вая усло­вие на­хо­дим:

До­бав­ляя точки и на­хо­дим все ре­ше­ния за­дан­но­го не­ра­вен­ства.

Ответ:

19. C 4. Дана окруж­ность ра­ди­у­са 4 с цен­тром в точке О, рас­по­ло­жен­ной на бис­сек­три­се угла, рав­но­го . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный угол и ка­са­ю­щей­ся дан­ной окруж­но­сти внеш­ним об­ра­зом, если из­вест­но, что рас­сто­я­ние от точки О до вер­ши­ны угла равно 10.

Ре­ше­ние.

Пусть Q — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са х, М — точка ка­са­ния с дан­ной окруж­но­стью, В — точка ка­са­ния с одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной А. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что . Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му , или , от­ку­да на­хо­дим, что .

Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

тогда , или , от­ку­да .

Ответ: 2 или 14.

20. C 5. Найти все зна­че­ния при каж­дом из ко­то­рых функ­ция имеет более двух точек экс­тре­му­ма.

Ре­ше­ние.

1. Функ­ция имеет вид

а) при по­это­му ее гра­фик есть часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии

б) при по­это­му ее гра­фик есть часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии

2. Все воз­мож­ные виды гра­фи­ков функ­ции по­ка­за­ны на ри­сун­ках:

Гра­фи­ки обеих квад­ра­тич­ных функ­ции про­хо­дят через точку

3. Функ­ция имеет более двух точек экс­тре­му­ма, а имен­но три, в един­ствен­ном слу­чае (рис. 1):

Ответ: ;

21. C 6. На доске на­пи­са­но число 7. Раз в ми­ну­ту Вася до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее ка­ко­го-то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске (таким об­ра­зом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся вто­рое число, через две ― тре­тье и т.д.).

а) Может ли в какой-то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2012?

б) Может ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 63?

в) Через какое наи­мень­шее время на доске может по­явить­ся число 784?

Ре­ше­ние.

а) За­ме­тим, что каж­дое число на доске будет де­лить­ся на 7. Дей­стви­тель­но, ис­ход­ное число де­лит­ся на 7, в слу­чае удво­е­ния числа де­ля­ще­го­ся на 7, по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. А при сло­же­нии чисел, де­ля­щих­ся на 7, также по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. Таким об­ра­зом, все числа на доске будут де­лить­ся на 7, а 2012 на 7 не де­лит­ся, сле­до­ва­тель­но, оно не может по­явить­ся на доске.

б) Да, может. При­мер: 7, 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7). Сумма по­лу­чен­ных 5 чисел равна 63.

За­ме­ча­ние. В усло­вии не ска­за­но, что одно число нель­зя удва­и­вать не­сколь­ко раз.

в) Как было за­ме­че­но в пунк­те а), все числа на доске будут де­лить­ся на 7. Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу, раз­де­лив ис­ход­ное число 7 и то число, ко­то­рое нужно по­лу­чить, то есть 784, на 7. От этого ко­ли­че­ство опе­ра­ций не из­ме­нит­ся. Таким об­ра­зом, до­ста­точ­но за наи­мень­шее ко­ли­че­ство опе­ра­ций по­лу­чить число 112, начав с числа 1.

За­ме­тим, что наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж­дый раз будет удва­и­вать те­ку­щее наи­боль­шее число). Сле­до­ва­тель­но, если в пер­вые 6 минут Вася каж­дый раз удва­и­вал наи­боль­шее число на доске, то число 112 нель­зя по­лу­чить за 7 минут: если число 64 удво­ить, то по­лу­чит­ся 128, а если при­ба­вить к нему число, не пре­вос­хо­дя­щее 32, то 112 не по­лу­чит­ся.

В том слу­чае, если в те­че­ние пер­вых 6 минут Вася ис­поль­зо­вал хотя бы одно сло­же­ние вме­сто удво­е­ния, то при пер­вом ис­поль­зо­ва­нии сло­же­ния наи­боль­шее число, за­пи­сан­ное на доске уве­ли­чи­лось не более, чем в пол­то­ра раза: дей­стви­тель­но, в этом слу­чае самый боль­шой ре­зуль­тат по­лу­чит­ся тогда, когда мы к мак­си­маль­но­му на дан­ный мо­мент числу при­ба­вим вто­рое по ве­ли­чи­не, то есть, его по­ло­ви­ну (на­пом­ним, что мы рас­смат­ри­ва­ем пер­вый слу­чай сло­же­ния, то есть до этого были толь­ко удво­е­ния). Таким об­ра­зом, даже если в те­че­ние пер­вых 7 минут сде­ла­но 6 удво­е­ний и одно сло­же­ние (в не­ко­то­ром по­ряд­ке), то наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, равно 96, что мень­ше 112.

Итак, за 7 минут число 112 по­лу­чить не­воз­мож­но.

При­ве­дем при­мер, как его по­лу­чить за 8 минут:

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.

ОТВЕТЫ Вариант № 8

На день рож­де­ния по­ла­га­ет­ся да­рить букет из не­чет­но­го числа цве­тов. Тюль­па­ны стоят 35 руб­лей за штуку. У Вани есть 160 руб­лей. Из ка­ко­го наи­боль­ше­го числа тюль­па­нов он может ку­пить букет Маше на день рож­де­ния?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 160 на 35:

.

Ване хва­та­ет денег на 4 тюль­па­на, но цве­тов долж­но быть не­чет­ное число. Сле­до­ва­тель­но, Ваня может ку­пить букет из 3 тюль­па­нов.

Ответ: 3.

2. B 2. В квар­ти­ре, где про­жи­ва­ет Алек­сей, уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). 1 сен­тяб­ря счётчик по­ка­зы­вал рас­ход 103 куб. м воды, а 1 ок­тяб­ря — 114 куб. м. Какую сумму дол­жен за­пла­тить Алек­сей за хо­лод­ную воду за сен­тябрь, если цена 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

Ре­ше­ние.

Рас­ход воды со­ста­вил 114 − 103 = 11 куб. м. По­это­му Алек­сей дол­жен за­пла­тить 11 19,2 = 211,2 руб.

Ответ: 211,2.

3. B 3. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да не вы­па­да­ло осад­ков.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что 4 дня из дан­но­го пе­ри­о­да (5, 8, 9, 12 фев­ра­ля) не вы­па­да­ло осад­ков (см. ри­су­нок).

Ответ: 4.

4. B 4. Для стро­и­тель­ства га­ра­жа можно ис­поль­зо­вать один из двух типов фун­да­мен­та: бе­тон­ный или фун­да­мент из пе­нобло­ков. Для фун­да­мен­та из пе­нобло­ков не­об­хо­ди­мо 2 ку­бо­мет­ра пе­нобло­ков и 4 мешка це­мен­та. Для бе­тон­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 2 тонны щебня и 20 меш­ков це­мен­та. Ку­бо­метр пе­нобло­ков стоит 2450 руб­лей, ще­бень стоит 620 руб­лей за тонну, а мешок це­мен­та стоит 230 руб­лей. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить ма­те­ри­ал, если вы­брать наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант?

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Сто­и­мость фун­да­мен­та из пе­нобло­ков скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2 2 450 = 4 900 руб., а также сто­и­мо­сти це­мен­та 4 230 = 920 руб. и со­став­ля­ет 920 + 4 900 = 5 820 руб.

Сто­и­мость бе­тон­но­го фун­да­мен­та скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти це­мен­та 20 230 = 4 600 руб., а также сто­и­мо­сти щебня 2 620 = 1 240 руб. и со­став­ля­ет 4 600 + 1 240 = 5 840 руб.

Дата добавления: 2015-04-23