Теорема Кельвина о безвихревом движении

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.

[править] Доказательство первой теоремы Кельвина

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть Δ Что-то = Что-то_вихр. − Что-то_{безвихр.}. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

а, так как div(φ a) = φ div a + gradφ· a, интеграл можно преобразовать так:

где σ — поверхность, ограничивающая объем τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

из чего и следует теорема Кельвина.

[править] Кинематическая теорема Кельвина

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.

[править] Доказательство второй теоремы Кельвина

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

[править] Теорема Кельвина о баротропной жидкости

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

при баротропном движении жидкости идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.

[править] Доказательство третьей теоремы Кельвина

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: :

следовательно, Г — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году.

Дата добавления: 2015-05-23