В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.
[править] Доказательство первой теоремы Кельвина
Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть Δ Что-то = Что-товихр. − Что-тобезвихр.. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:
где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:
а, так как div(φ a) = φ div a + gradφ· a, интеграл можно преобразовать так:
где σ — поверхность, ограничивающая объем τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:
из чего и следует теорема Кельвина.
[править] Кинематическая теорема Кельвина
Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:
частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.
[править] Доказательство второй теоремы Кельвина
Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.
Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:
[править] Теорема Кельвина о баротропной жидкости
Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:
при баротропном движении жидкости идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.
[править] Доказательство третьей теоремы Кельвина
Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: :
следовательно, Г — постоянная величина.
Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление