Формула Стокса

Математическое изучение движения тел в вязкой жидкости сопряжено со столь большими трудностями, что до сих пор такому изучению оказались доступными только предельные случаи, а именно, случай очень большой вязкости, т.е. очень малого числа Рейнольдса, и случай очень малой вязкости, т.е. очень большого числа Рейнольдса. Если в потоке преобладают силы вязкости, что имеет место, с одной стороны, в очень вязких жидкостях (например, в моторном масле), а с другой стороны, также в обычных жидкостях при весьма малых размерах, определяющих движение, то можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами вязкости и считать, что перепад давления и силы трения, приложенные к любой части жидкости, уравновешивают друг друга. Согласно сказанному в § 2, в геометрически подобных потоках силы трения, отнесенные к единице объема, пропорциональны. Так как силы давления уравновешиваются с силами трения, то и они должны быть пропорциональны. Следовательно, в рассматриваемом случае геометрическое подобие влечет за собой всегда и механическоеподобие. Так как сравниваемые объемы относятся как /3, то полные силы сопротивления относятся как произведения pvl.

Для некоторых тел простой формы удалось произвести расчет потока и определить сопротивление при движении тела. Наиболее известным является решение Стокса1 для движения шара. Для величины сопротивления W Стоке получил формулу W = Qnnva, где а есть радиус шара, a v — скорость его движения. Эта формула, называемая формулой Стокса, имеет важное значение для расчета падения маленьких капель. Так как в этом случае сопротивление следует принять равным весу капли за вычетом поддерживающей силы, то мы можем написать: бтг/iva = -y(Pi - P2)ga3, где р\ есть плотность падающей капли, а рг — плотность окружающей среды. Отсюда мы получаем скорость падения

Эта формула применима только для таких движений, при которых число Рейнольдса мало по сравнению с единицей. Для падения водяных капель в воздухе формула принимает вид:
1,3-106а2, причем а следует брать в сантиметрах. Из условия, что R = ^ < 1, получается, что формула верна только для капель, радиус которых меньше 0,01 мм. Из таких капель состоит туман.
Движения жидкости, при которых число Рейнольдса меньше единицы, называются ползущими течениями. При движениях с очень большими числами Рейнольдса влияние трения делается совершенно ничтожным. Такие движения совпадали бы с движениями жидкости без трения, если бы не было условия прилипания к стенкам, которому жидкость, лишенная трения, не может удовлетворять.

Более детальное исследование показывает, что жидкость, обладающая малым трением, при движениях с большими числами Рейнольдса ведет себя вдали от стенок совершенно так же, как жидкость, лишенная трения; но около стенок она образует вследствие трения тонкий пограничный слой, в котором скорость изменяется от значения, соответствующего движению без трения, до значения, соответствующего условию прилипания.

Пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость. Так как внутри пограничного слоя в направлении, перпендикулярном к движению, скорость изменяется довольно быстро, то даже при очень малой вязкости здесь получаются такие силы трения, которые сравнимы с силами инерции и поэтому не могут быть отброшены, как вдали от стенок, где они ничтожно малы по сравнению с силами инерции.
распределение скоростей в пограничном слое. Если толщина пограничного слоя представляет собой величину порядка S, а размер тела в направлении течения — величину порядка I, то сила трения на единицу объема, (знак ~ означает «пропорционально») дающая оценку для толщины пограничного слоя.

Теорема Томпсона об изменении циркуляции скорости по жидкому контуру со временем.

Теорема Томпсона (Кельвина) (без доказательств) и следствие из нее.

Теорема Томпсона (законом сохранения циркуляции скорости) утверждает, что если 1) силы, действующие в жидкости имеют потенциал; 2) идеальная жидкость баротропна; 3) поле скоростей непрерывно, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контору остается постоянной во все время движения жидкости: dГ/ dt =0.

Следствие (теорема Лагранжа): если соблюдаются условия теоремы Томпсона и вихрей не было, то они и не могут появиться, а если были то не могут исчезнуть. Если условия теоремы нарушаются, то вихри смогут возникать и исчезать.

Основная ценность т.Т.: позволяет объяснить причины перехода движения жидкости из безвихревого в вихревое состояние, и наоборот.

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны еще две другие теоремы Томсона (Кельвина).

Дата добавления: 2015-05-23