Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема разложения Гельмгольца

Три теоремы Гельмгольца о вихрях.

[править]

Перейти к: навигация, поиск

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля определен в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля : где для всех точек области V.

Содержание [убрать]

• 1 Формулировка теоремы
• 2 Поля, определенные ротором и дивергенцией
• 3 Примечания
• 4 Литература
• 5 См. также

// [править] Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R ³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/ r на бесконечности.^[1] Тогда F представимо в виде суммы градиента и ротора как написано ниже:

Где это оператор ньютониан (Если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇· F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

В этом случае, A называется векторным потенциалом поля F. Этот частный случай бездивергентного векторного потенциала в физике называется условием кулоновской калибровки (или нормировки).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇× F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

В этом случае, φ называется скалярным потенциалом поля F.

В общем случае F представимо суммой,

,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная.

[править] Поля, определенные ротором и дивергенцией

Теорема Гельмгольца работает также в следующих условиях. Пусть C — соленоидальное векторное поле, а d — скалярное поле в R ³, которые достаточно гладки и убывают быстрее 1/ r ² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

и

Если к тому же, если векторное поле F исчезает при r → ∞, тогда F единственно.^[1]

Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, если же оно исчезает на бесконечности, то оно может быть построено однозначно. Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.^[1] Как уже было написано выше:

. Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки. Первая теорема Гельмгольца

В движущейся жидкости связь между скоростями точек имеет сложный вид. Это связано с возможностью перемещения отдельных частиц относительно им подобных, что приводит к деформации выделенного объема.

Скорость любой точки потока жидкости можно описать функцией, зависящей от координат

,

где u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) и w=w(x,y,z) - проекции вектора скорости на оси координат; - орты декартовых осей координат.

Любую непрерывную функцию в окрестности точки "0" можно разложить в ряд Тейлора, причем, если под понятием "окрестности" понимать область, в которой точки отстоят от "0" на очень малое расстояние , то в разложении можно ограничиться только линейными членами ряда. Для проекции на ось x получим

upofloor паркетная доска

Используя тождества

,

выражение для проекции скорости на ось x приведем к виду

(1.3.1)

Аналогично можно получить формулы для проекций вектора скорости на оси координат y и z.

Вращательное движение тела характеризуется вектором угловой скорости. Представим вектор угловой скорости вращения через его проекции на оси координат

.

В разделе математики "Векторная алгебра" показано, что

С учетом этого, второе и третье слагаемые в правой части уравнения (1.3.1) представляют собой проекцию на ось x следующего векторного произведения

,

которое в сумме с u ₀ представляет собой выражение, тождественно равное проекции скорости движения абсолютно твердого тела на рассматриваемую ось

.

Величину называют скоростью квазитвердого движения жидкой частицы. Последние три слагаемые уравнения (1.3.1)

являются проекцией на ось x вектора деформационного движения .

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее утверждение, известное как первая теорема Гельмгольца: скорость точек элементарного объема жидкости складывается из скоростей квазитвердого и деформационного движений. Векторная запись этой теоремы имеет вид

. (1.3.2)

Для выяснения смысла вектора деформационного движения рассмотрим некоторые частные случаи.

На рис. 1.3.1, а представлено движение отрезка Dx вдоль оси x. Пусть левый конец отрезка движется со скоростью u, а правый - со скоростью . Из-за разности скоростей длина отрезка за время D t изменится на , а скорость изменения длины (скорость линейной деформации) будет . Отношение скорости линейной деформации к первоначальной длине отрезка называют относительной (удельной) скоростью линейной деформации e_xx. Аналогично можно получить относительные скорости линейной деформации вдоль других координатных осей.

.

Из рассмотрения движения отрезка Dx вдоль оси y (рис. 1.3.1, б) следует, что если скорость его левого конца v, а правого , то за время D t отрезок переместится и повернется на угол Da₁. Для малых углов

.

Угловая скорость такого поворота равна

.

Угловая скорость поворота отрезка Dy (рис. 1.3.1, в) равна .

Вследствие вращения отрезков Dx и Dy, расположенных первоначально под прямым углом, произойдет угловая деформация частицы в плоскости x-y. Скорость угловой деформации определяется суммой угловых скоростей поворота обоих отрезков т.е. . В гидравлике за меру скорости угловой деформации принимают половину этой суммы, т.е.

.

Аналогично получают меры скоростей угловых деформаций в плоскостях y-z и x-z

.

На основании вышеизложенного, проекции вектора деформации на оси координат можно представить в следующем виде:

(1.3.3)

Скорости линейных и угловых деформаций образуют тензор скоростей деформации

(1.3.4)

Выражение для скорости деформационного движения, с учетом этих обозначений, примет вид:

.

Дата добавления: 2015-05-23