Общая формулировка

Теорема Стокса о связи циркуляции с напряжением вихрей.

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p -мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p −1 класса C¹ (). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

где d ω обозначает внешний дифференциал формы ω.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.

ПРИМЕР 1. Вычисление циркуляции по формуле Стокса.

Ротор векторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть . Точка лежит на плоскости внутри контура , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором , затем x0z, , затем x0y, . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя: . Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

Дата добавления: 2015-05-23