Теорема о количестве движения

Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения, хорошо известные из общей механики, находят своеобразное применение к установившимся движениям жидкостей, а также к таким неустановившимся движениям, которые во времени могут рассматриваться в среднем как установившиеся. Ценность этих теорем состоит в том, что для их применения требуются только данные о состоянии потока на граничных поверхностях рассматриваемой области, но не внутри области; это позволяет получать из них выводы о таких гидродинамических явлениях, детали которых не могут быть полностью учтены.

Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе.

Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду (§2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы.

При установившемся движении какой-либо ограниченной массы жидкости изменение ее количества движения возникает исключительно вследствие перемещения ее границ. В самом деле, при установившемся движении каждая частица жидкости внутри выделенной массы заменяется на своем месте другой частицей, принимающей здесь скорость первой частицы. Поэтому для определения изменения количества движения достаточно выяснить только то, что происходит на границах выделенной массы жидкости. Для этой цели рассмотрим жидкую струйку. Прежде всего заметим, что жидкая струйка должна состоять все время из одних и тех же частиц жидкости, так как иначе нельзя будет основываться на теореме общей механики о количестве движения системы.

Следовательно, во все время движения части жидкости, принадлежащие к жидкой струйке, не должны ее покидать, а частицы жидкости, не принадлежащие к ней, не должны в нее проникать. Это означает, что поверхности, ограничивающие выделенную массу жидкости, должны перемещаться вместе с жидкостью, т.е. они должны быть жидкими поверхностями.

Таким образом, в нашей жидкой струйке ее концевые поперечные сечения должны перемещаться вместе с жидкостью, первоначально заключенной в жидкой струйке. Векторную сумму этих изменений количеств движения , отнесенных к единице времени, следует приравнять результирующей всех внешних сил, действующих на выделенную массу жидкости.

Вместо изменений количеств движения можно рассматривать соответствующие им «реакции», т. е. силы такой же абсолютной величины, но противоположного направления. Векторная сумма этих реакций, очевидно, уравновешивается внешними силами, приложенными к выделенной массе жидкости. Следовательно, в случае жидкой струйки, реакция в сечении А направлена в сторону скорости WA, а в сечении В — в сторону, обратную скорости WB-

Движение любой точки жидкой частицы можно рассматривать как результат сложения поступательного движения по траектории вместе с некоторой начальной точкой, вращательного движения вокруг оси, проходящей через начальную точку, и деформационного движения, которое, в свою очередь, состоит из линейной деформации и деформации скашивания.
Предыдущие три равенства дают аналитическое выражение этой теоремы.
Итак, движение жидкой частицы может быть в общем случае разложено на поступательное движение, вращательное движение и движение от деформации. Этими тремя видами исчерпываются псе возможные случаи движения жидкой частицы. Конечно, такое разложение движения на простейшие не является единственным,-возможны и другие разложения. Но, как показал Гельмгольц, такое разложение наиболее правильно с динамической точки зрения: оно разделяет при кинематическом описа-яии явления те движения, которые происходят от сил разной природы. Мы увидим далее, в динамике жидкости, что силы, имеющие потенциал (сила тяжести, сила гидродинамического давления и др.), не могут вызвать в несжимаемой жидкости вращения частиц.
Действие этих сил может выражаться только в поступатель-иом и деформационном движениях частиц , т. е. в таких движениях, которые соответствуют первым трем слагаемым в разложении Гельмгольца. Вращательное движение частиц может быть БЫЗВЭНО в несжимаемой жидкости лишь силами, не имеющими потенциала, например, силами трения.
§ 5. Эллипсоид скоростей деформации,
Рассмотрим теперь несколько подробнее движение, происходящее от деформации частицы. Можно доказать, что компоненты скорости, происходящие от деформации, т. е.
-jj Дг з Дг зг Д., \у -2 Д:г Sj, дг, - Дг 8l by sy Дат, (25)
определяют собой некоторый вектор, называемый обычно скоростью чистой деформации в точке М0, который обладает тем свойством, что его проекция на любое направление I, исходящее из точки М0, равна скорости линейной деформации вдоль этого направления I. Мы убедимся в этом, вычисляя скорость линейной деформации жидкости в направлении I. Как известно, удельные скорости линейной деформации вдоль осей координат изображаются соответственно частными производными -

Дата добавления: 2015-05-23