Нескінченно малі функції та їх властивості

Спробуємо тепер означення границі послідовності, яке було дано у лекції 3, узагальнити на випадок функції . Візьмемо деяку послідовність значень аргумента , яка збігається до числа , тобто . Тоді відповідно значення функції також будуть утворювати деяку послідовність

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для будь якої послідовності значень аргумента , такої, що , і , відповідна послідовність значень функції збігається до числа , тобто .

У цьому випадку ми пишемо:

.

Наведене означення називається означенням функції на мові послідовностей, або означенням Гейне. *

Існує ще одне означення границі функції, яке полягає у наступному. В лекції 3 ми інтуїтивно ввели поняття границі функції, як деякого числа , до якого «наближаються» (або, як кажуть у математиці, прямують) значення функції , якщо значення аргумента «наближаються» (прямують) до числа . Оскільки у нас з’явилися терміни «наближаються», «близько», треба ввести деяку міру цієї близькості, а саме міру близькості аргумента до числа і значення функції до числа . Позначимо першу з цих мір через . Це буде означати, що

, (*) тобто значення аргумента потрапляють в -окіл точки . Другу з цих мір позначимо через . Це буде означати, що

, (**) тобто значення функції потрапляють в -окіл точки . за рахунок чого може здійснитися друга нерівність? Очевидно, за рахунок достатнього ступеня близькості до , і цей ступінь близькості, очевидно, повинен залежати від . Іншими словами по заданому числу ми повинні знайти число , яке залежить від , таке, що виконання нерівності (*) забезпечує і виконання нерівності (**). Саме цей факт виражає наступне означення.

Означення. Число називається границею функції при (або у точці ), якщо для кожного додатного числа існує таке додатне число , яке залежить від , що для будь яких значень , що задовольняють нерівність , а також , виконана нерівність .

У цьому випадку пишемо: .

У символьній формі запису це означення має такий вид:

.

Саме таку форму ми будемо використовувати у подальшому.

Наведене означення називається означенням границі функції на мові , або означенням Коші*. Геометрична його ілюстрація наведена на рис. 30. З нього видно, що якщо значення аргумента належать множині , тобто , то значення функції належать проміжку , тобто .

Рис. 30

Приклади.

1. Доведемо, що . Використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо:

.

Нехай тепер . Тоді . Вимагатимемо, щоб останній вираз був менше, ніж (тоді тим більш буде менше, ніж ), тобто . Розв’язком цієї квадратної нерівності (враховуючи, що ) є інтервал . Таким чином, якщо ми оберемо (тобто по заданому знайшли ), то забезпечимо виконання нерівності . У якості можна взяти будь яке число з інтервалу , наприклад .

2. Доведемо, що .

Знову використаємо означення Коші. Задамо довільне і розглянемо :

.

Якщо , то, обираючи (наприклад ), забезпечуємо виконання нерівності , що й треба було встановити.

3. Доведемо, що функція не має ніякої границі при . Скористаємось тепер означенням Гейне. Розглянемо послідовність , де . Очевидно, що . В той же час: .

Тепер розглянемо іншу послідовність , де . Знову . Але цього разу .

Отже, для двох різних послідовностей значень аргумента, прямуючих до нуля, відповідні послідовності значень функції мають різні границі – 0 і 1. І тоді, згідно з означенням Гейне, наша функція не має границі при .

Можна довести, що означення границі функції по Коші і по Гейне еквівалентні (див., напр.., [2, стор. 145–146]).

У лекції 3 ми вже відмічали, що не слід змішувати поняття границі функції у точці і значення функції у цій точці. Саме тому в означенні границі функції є суттєва умова: треба, щоб було ; або, що те ж саме, . Приклад 2 показує, що границя може існувати і тоді, коли функція взагалі не визначена у точці , Але, навіть у тому випадку, коли функція визначена у точці , її границя у цій точці зовсім не обов’язково дорівнює значенню функції у цій точці. Розглянемо детальніше приклад з лекції 3.

Доведемо, що . Задамо і розглянемо для будь яких :

, тобто у якості можна взяти будь яке додатне число. Разом з цим .

Може бути і така ситуація, коли функція визначена у точці , а границі функції у цій точці не існує. Розглянемо, наприклад, функцію:

Ця функція визначена у точці , а границі у цій точці не існує (див. приклад 3).

В наведених означеннях границі функції значення аргумента прямувало до скінченого числа . Але ці значення можуть прямувати і до нескінченності (саме така ситуація спостерігається, наприклад, тоді, коли у якості функції розглядається послідовність). Тоді означення функції приймає наступний вид:

Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь якого числа існує таке число , що нерівність гарантує виконання нерівності .

Тоді пишемо:

.

Це означення за змістом близько до означення границі послідовності, тому особливих пояснень не вимагає.

Сама границя функції теж може бути нескінченною.

Означення. Кажуть, що границя функції при дорівнює нескінченності, якщо для будь якого додатного числа існує таке додатне число , що виконання нерівності гарантує виконання нерівності .

Тоді пишемо: .

Тобто за рахунок достатньої близькості аргумента до числа значення функції може бути зроблено за модулем більшим, ніж будь яке наперед задане число .

У цьому випадку функція називається нескінченно великою у точці .

Приклад. Довести, що функція є нескінченно великою у точці .

Задамо довільне і розглянемо:

.

Якщо , то .

Вимагатимемо, щоб , тобто . Наприклад, можна взяти . Тоді за даним ми знайшли таке, що з нерівності випливає нерівність , тобто .

Границя функції може дорівнювати не просто нескінченності, а нескінченності з певним знаком.

Означення. Кажуть, що , якщо .

Наприклад: .

Завдання. Самостійно сформулюйте означення того що функція має нескінченну границю при , тобто .

Теорема. Якщо функція має границю при , то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що функція у точці має дві границі і , причому . Тоді . Оскільки , то . А оскільки також , то . Позначимо . Тоді, якщо , то будуть водночас виконуватись нерівності . Оскільки ці нерівності виконуються для будь якого додатного , то покладемо, наприклад, . Тоді матимемо:

, тобто додатне число менше самого себе, що неможливо. Отже функція може мати у даній точці лише одну границю.

З поняттям границі функції тісно пов’язано поняття нескінченно малої функції.

Означення. Функція називається нескінченно малою при , якщо .

Тобто, якщо .

Аналогічно визначаються функції, нескінченно малі при .

Наприклад, функція – нескінченно мала при , – нескінченно мала при , а – нескінченно мала при .

Теорема. Якщо функції та нескінченно малі при , то функції – також нескінченно малі при .

Доведення. Доведемо це твердження лише для суми функцій (для різниці та добутку доводиться аналогічно, зробіть це самостійно). Отже, оскільки – нескінченно мала при , то . А оскільки – нескінченно мала при , то . Якщо тепер покласти , то з нерівності буде випливати, що водночас і . Тоді

, а це й означає що функція – нескінченно мала при .

Звідси, зокрема, випливає, що сума скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала..

Зауваження. Частка двох нескінченно малих функцій не обов’язково функція нескінченно мала. Наведемо приклад. Розглянемо функції . Обидві ці функції нескінченно малі при . Але не є нескінченно малою при .

Теорема. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є функція нескінченно мала.

Доведення. Нехай функція обмежена при , а функція – нескінченно мала при . Тоді у деякому -околі точки виконується нерівність , де . Крім того . Якщо тепер , то матимемо:

, тобто – нескінченно мала при .

Зокрема, добуток нескінченно малої функції на сталу є функція нескінченно мала.

Теорема. Якщо функція – нескінченно мала при , то функція – нескінченно велика при . І навпаки, якщо функція нескінченно велика при , то функція – нескінченно мала при .

Доведення. Нехай – нескінченно мала при . Тоді . Задамо довільне . Розглянемо при :

, якщо обрати . Це й означає, що функція – нескінченно велика при .

Друга частина твердження доводиться аналогічно.

Лекція 7. Основні теореми про границі функцій. Перша

Дата добавления: 2015-05-24