Друга теорема Больцано–Коші (теорема про проміжне значення)

Нехай функція визначена і неперервна на відрізку і набуває на його кінцях різних значень . Тоді для довільного числа , яке лежить між числами і , існує таке число , що .

Доведення. Цю теорему легко довести на підставі попередньої. Дійсно. припустимо для визначеності, що . Введемо функцію . Ця функція неперервна на як різниця двохнеперервних функцій. Крім того:

.

Таким чином, на кінцях відрізку функція набуває значень різних знаків, і отже вона задовольняє всім умовам попередньої теореми. Згідно з нею існує таке, що , тобто , що й треба було довести.

Іншими словами, ця теорема стверджує, що неперервна функція при переході від одного значення до іншого набуває всіх проміжних між ними значень.

Геометричну ілюстрацію наведено на рис. 40.

Рис. 40

Всі ці властивості стосуються неперервних функцій. Якщо у деякій точці порушується хоч би одна з умов, наведених в означенні неперервності функції в точці, то кажуть. що у точці функція має розрив, або функція називається розривною у точці . Точка називається точкою розриву функції. Розрізняють наступні види розривів.

Означення. Кажуть, що у точці функція має розрив I роду, якщо в цій точці існують скінчені однобічні границі, і не всі числа (у випадку визначеності функції в точці ), , співпадають.

Графіки таких функцій зображені на рис. 33(б), 35. Такого типу розриви має, наприклад, функція (ціла частина ), графік якої зображено на рис. 40.

Рис. 40

Ця функція має розриви I роду у точках .

Означення. Кажуть, що у точці функція має розрив II роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції у цій точці нескінченна або не існує.

Графік такої функції показано на рис. 33(в). Прикладом може бути функція (розрив II роду у точці ), функція (розриви II роду у точках ). Розрив II роду має у точці і функція , оскільки не існує границі цієї функції при .

Означення. Кажуть, що в точці функція має усувний розрив, якщо в цій точці існують однобічні границі, вони співпадають, але функція не визначена у точці .

Графік такої функції показано на рис. 33(г). Характерною його ознакою є наявність «виколотої» точки. Наприклад, функція має усувний розрив в точці . Дійсно , але функція не визначена у цій точці.

Якщо функція у точці має розрив такого типу, то його можна усунути (звідси і назва розриву), якщо довизначити функцію у точці , тобто ввести нову функцію

Така функція вже буде неперервною у точці . Наприклад, функція

неперервна у будь якій точці числової прямої, у тому числі у точці .

ЗМІСТ

Передмова……………………………………………………2

Література……………………………………………………3

Лекція 1. Основні поняття теорії множин…………………………4

Лекція 2. Основні числові множини. Дійсні числа, числова вісь,

проміжки на ній. Модуль дійсного числа………………………….8

Лекція 3. Деякі задачі, які приводять до поняття границі. Число-

ва послідовність та її границя………………………………………14

Лекція 4. Поняття функції. Способи задання функції. Основні

елементарні функції та їх графіки………………………………….22

Лекція 5. Елементарні функції та їх класифікація. Деякі важливі

типи функцій…………………………………………………………33

Лекція 6. Границя функції у точці та у нескінченності. Нескін-

ченно малі функції та їх властивості………………………………..38

Лекція 7. Основні теореми про границі функцій. Перша і друга

важливі границі та їм супутні………………………………………..45

Лекція 8. Порівняння нескінченно малих. Деякі методи обчислен-

ня границь функцій……………………………………………………54

Лекція 9. Функції, неперервні у точці, та їх властивості…………...64

Лекція 10. Функції, неперервні на відрізку, та їх властивості.Роз-

ривні функції. Класифікація точок розриву………………………….70

* Гейне Генріх Едуард (1821–1881) – німецький математик. Не путати з відомим поетом Генріхом Гейне.

* Коші Огюстен Луї (1789–1857) – видатний французький математик. Зробив величезний внесок у розвиток математичного аналізу.

* Див., напр.: Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. М.:Наука, 1969. – С. 133–134.

* Ейлер Леонард (1707–1783) – видатний німецький математик. Зробив величезний внесок в розвиток математичного аналізу та багатьох інших розділів математики.

** Ерміт Шарль (1822–1901) – французький математик. Працював у галузі алгебри та математичного аналізу.

* Див., напр.., Г.М.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т.1. М.: Наука, 1969. – С. 168–178.

* Вейєрштрасс Карл (1815–1897) – німецький математик. Зробив значний внесок у розвиток математичного аналізу.

** Больцано Бернард (1781–1848) – чеський математик, філософ і логік. Працював в галузі математичного аналізу і теорії множин.

Дата добавления: 2015-05-24