Уравнения сохранения в безразмерном виде. Критерии подобия

Уравнения сохранения можно привести к безразмерному виду, что позволит ввести безразмерные критерии физического подобия. Рассмотрим задачу обтекания колеблющегося твердого тела пото­ком вязкой сжимаемой жидкости. Для упрощения преобразований пренебрежем массовыми силами, подводом теплоты и тепло­обменом. Газ считаем совершенным. На тело набегает плоскопа­раллельный поток со скоростью u_¥ при давлении р_¥, и темпера­туре Т _¥. Характерный размер тела обозначим L, а частоту коле­баний f. Вязкость жидкости характеризует динамический коэффи­циент вязкости μ, который для упрощения считаем постоянным. Введем безразмерные величины, которые обозначим чертой сверху (2.49)

Заменив в уравнениях неразрывности (2.9), движения (2.20) и энергии (2.29) размерные величины безразмерными с помощью· (2.49), получим

Выражения в квадратных скобках являются безразмерными постоянными. Из курса физики известно, что скорость распро­странения звука в газе можно определить по формулам (2.51) где k — показатель изоэнтропы; R — газовая постоянная.

Внутренняя энергия калорически совершенного газа равна e_¥ = c_v T _¥ ( c_v — теплоемкость при постоянном объеме).

Характерные безразмерные величины принято обозначать сле­дующим образом:

- число Струхаля, -число Маха, - число Рейнольдса.

Отношение u ²/е можно выразить через М: u²/e = k(k – 1)Μ². Тогда уравнения сохранения (2.50) примут вид

(2.52)

Численные значения коэффициентов уравнений зависят только от безразмерных чисел Sh_¥, М_¥, Re_¥, k. Число Sh можно назвать безразмерной частотой, и оно характеризует влияние колебания тела на течение. Число Μ — безразмерная скорость, оно учитывает влияние эффекта сжимаемости жидкости. Число Re характеризует отношение сил ускорения к силам или, другими словами отношение инерции массы воздуха к его вязкости.

Рассмотрим важный вопрос о физическом подобии.

Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно полу­чить характеристики другого простым пересчетом по переходным масштабам [14].

Пусть, согласно рассмотренной задаче, поток обтекает колеблю­щееся тело. Представим другой поток, в котором колеблется геометрически подобное тело. Положим, что безразмерные числа Sh_¥, M_¥, Re_¥, k в обоих случаях одинаковы, хотя значения размерных величин u`<sub>¥</sub>, T`_¥, р' _¥, μ', f'’, L` — различны. Решения уравнений (2.52) для этих двух задач совпадут, так как численные значения коэффициентов одинаковы. Такие явления физически подобны. По известному решению одной задачи находим решение другой.

Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений является постоянство численных значений безразмерных комбинаций [14] (в данном случае чисел Sh _¥, М _¥, Re _¥, k, которые называют критерием подобия) , k = k'.

Решить задачу аналитически в ряде случаев невозможно. Тогда прибегают к моделированию. Моделированием называется замена изучения явления в натуре изучением аналогичного явления на модели. Это имеет смысл, если экспериментальное изучение натурного объекта затруднено (высокая стоимость опытов, трудно проводить измерения из-за высокой температуры и т. п.). Про­ведя испытания модели при соблюдении физического подобия, пересчетом находят соответствующие величины для натурного объекта.

Следует, однако, указать, что соблюдения полного подобия в некоторых случаях добиться трудно, а иногда и невозможно. Так может оказаться, что трудно выдержать необходимое значение числа Re для модели, если натурный объект имеет очень большие размеры, а поток в нем движется с очень большой скоростью. Иногда можно прибегать к частичному моделированию. Теорети­чески и экспериментально доказано, что когда число Re превос­ходит некоторое значение, дальнейшее его увеличение слабо влияет на величину силы трения (см. гл. 7). Аналогично, когда Μ < 0,3 можно пренебречь влиянием сжимаемости жидкости (см. гл. 4). В таких случаях эти критерии не являются определяющими.

Для определения критериев подобия не обязательно нужно иметь дифференциальные уравнения задачи. Для ряда сложных задач таких уравнений нет и исследования можно проводить только экспериментально. В этих случаях перед постановкой опытов применяют анализ с помощью теории размерностей.

Введем основные понятия. Величины, численное значение которых зависит от принятых единиц измерения, называют раз­мерными. Величины, численное значение которых не зависит от принятых единиц измерения, называют безразмерными. Выбор тех или иных единиц измерения диктуется удобством. Некоторые физические величины принимают за основные и устанавливают для них единицы измерения, которые называют основными.

Поскольку остальные физические величины связаны с основ­ными определенными соотношениями, то для них можно устано­вить единицы измерения, которые выражаются через основные.

Так, в СИ за основные механические единицы измерения приняты метр, секунда, килограмм. Обозначим эти единицы соответственно через L, Т, М. Тогда размерность других величин может быть выражена формулой размерности (2.53)

Так, например, размерность площади будет L², ускорения LT^-2, а силы (согласно второму закону Ньютона) MLT^-2.

За основные единицы измерения могут быть выбраны и другие, а число их не обязательно равно трем. Однако формула размер­ности обязательно представляется степенным одночленом.

Размерности могут быть зависимыми и независимыми. Неза­висимой называется размерность, которую нельзя выразить через размерности других заданных величин. Так, например, размер­ности скорости LT^-1, ускорения LT^-2 и энергии ML²T^-2 незави­симы, а размерность ускорения LT^-2 зависит от размерности длины L и скорости LT^-1.

Рассмотрим теперь основную теорему подобия. Пусть физи­ческую закономерность описывает функциональная зависимость между n + 1 размерными величинами (2.54)

Среди аргументов могут быть как переменные, так и постоянные размерные величины. Численное значение величин зависит от выбранных единиц измерения. Однако функциональная зависи­мость (2.54) описывает физическую закономерность, которая не зависит от произвольного выбора единиц измерения. Это позво­ляет сделать некоторые заключения о виде зависимости (2.54). Если бы эта зависимость устанавливала связь между безразмер­ными величинами, то она не изменялась бы при переходе от одних произвольных единиц измерения к другим.

Пусть в уравнении (2.62) первые k величин a₁,а₂,..., a_k имеют независимую размерность (k < n). Размерность остальных n - k + 1 величин можно выразить через эти независимые размерности.

Согласно формуле размерности (2.53) получим (2.55)

Можно получить не больше n - k + 1 безразмерных величин (2.56) и вместо (2.54) записать П=f(П₁,П₂,...,П_n-k) (2.57)

Физическое соотношение между n + 1 размерной величиной,

из которых k < n имеют независимую размерность, можно пред­ставить как соотношение между n - k + 1 безразмерными вели­чинами. Это заключение носит название П-теоремы [14]. Оче­видно, что сокращение числа переменных приносит большую пользу при экспериментальном исследовании. Составление без­размерных критериев, как видно, не требует особого труда. Основ­ная сложность заключается в схематизации изучаемого явления и выборе определяющих параметров.

Рассмотрим известный простой пример. Пусть требуется опре­делить расход жидкости m через водослив в виде острого прямо­линейного гребня. В этом случае можно считать, что течение определяется силами инерции и тяжести, т. е. зависит от плот­ности жидкости ρ и ускорения свободного падения g. Если водослив имеет большую протяженность, то характерным геометрическим размером является только глубина потока над водосливом h. Следовательно, имеется зависимость (2.58)

Размерности всех трех аргументов независимы и из них нельзя составить безразмерную комбинацию. Следовательно, из четырех размерных величин можно образовать только одну безразмерную величину Π=mr^-1g^-1/2h^-5/2. Согласно условию (2.57) она может быть только постоянной. Тогда окончательно получим

Следовательно, из опыта надо определить одну универсальную постоянную. Проведя опыт с водой, можно применять формулу, например, для масла или ртути. Без этих простых соображений в опытах пришлось бы варьировать тремя независимыми перемен­ными.

Дата добавления: 2015-05-09