Метод Эйлера. Метод рунге-кутtа

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ. ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ.

Конспект помогли составить А.Ю. Скавронский, П.В. Рощин.

Теперь рассмотрим задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в общей постановке:

(10.1)

(10.2)

Здесь − заданные функции, − независимая переменная, − заданные начальные условия. Надо найти функции , являющиеся решением задачи (10.1) − (10.2) на отрезке . Для простоты изложения в дальнейшем ограничимся одним уравнением

(10.3)

с одной неизвестной функцией и начальным условием

(10.4)

Рассмотренные ниже методы легко распространяются на системы вида (10.1).

Хотя решение некоторых задач Коши может быть найдено аналитически, во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь оказывается невозможным. Цель этого и нескольких следующих параграфов настоящей главы состоит в описании способов построения приближенного решения задачи Коши с помощью численных методов, в частности, конечно-разностных методов.

Первый шаг на пути численного решения состоит в разбиении отрезка на конечное число частей введением узловых точек . Хотя неравномерное разбиение отрезка не ведет к каким-либо особым трудностям, для простоты изложения и анализа будем предполагать, что узловые точки делят отрезок на равные отрезки. Если обозначить через расстояние между узлами (шаг сетки), то и , где - (целое) число отрезков разбиения. В дальнейшем будем через обозначать значение точного решения (10.3) в точке , а через - соответствующее приближенное значение, построенное с помощью рассматриваемого численного метода.

Введем сетку: .

Вероятно, простейшей численной схемой является метод Эйлера, который определяется формулами

(10.5)

Вывод метода Эйлера очевиден. Из разложения Тейлора функции в окрестности точки имеем:

(10.6)

где лежит внутри отрезка . Мы всегда будем считать, что все выписываемые производные действительно существуют. Если производная ограничена, а шаг мал, то можно отбросить последний член и, используя обозначение в смысле «приближенно равно», написать

Это и служит основой для (10.5). Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке .

Метод Эйлера очень прост для реализации на ЭВМ: на шаге вычисляется значение , которое затем подставляется в (10.5). Таким образом, все необходимые операции по существу сводятся к вычислению

Как видно из расчетов применения метода, численное решение сильно отличается от точного и главный вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений . Вообще говоря, существует два источника погрешности этих приближений:

а) ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (10.3) разностной аппроксимацией (10.5);

б) ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций по формулам (10.5).

Поскольку анализ общей ошибки, возникающей по этим двум причинам, очень сложен, рассмотрим предельную ситуацию.

Отбросим ошибки округления. Сейчас будем считать, что значения в (10.5) вычисляются точно, так что погрешности обусловлены только ошибкой дискретизации. Введем величину

, (10.7)

называемую глобальной ошибкой дискретизации (иногда эту величину называют глобальной ошибкой усечения). Отметим, что зависит от величины шага , поскольку предполагается, что приближения вычисляются при заданном значении . Интуитивно ожидаем и определенно надеемся, что при уменьшении ошибка дискретизации будет убывать и, в частности, при стремлении к нулю также будет стремиться к нулю.

Мы не будем здесь давать полный анализ глобальной ошибки дискретизации, а удовлетворимся лишь тем, что покажем, как такой анализ обычно проводится. Во-первых, предположим, что точное решение имеет на отрезке ограниченную вторую производную :

(10.8)

Далее рассмотрим величину

(10.9)

которая называется локальной ошибкой дискретизации метода Эйлера в точке x и служит мерой того, насколько разностная аппроксимация отличается от . Предположим теперь, что равно значению точного решения . Тогда разность между аппроксимацией по Эйлеру и точным решением выражается формулой

(10.10)

Таким образом, умноженная на локальная ошибка дискретизации равна ошибке на одном шаге метода Эйлера, стартовавшего с точного решения.

Обычно нас интересует максимум по , так что определим локальную ошибку дискретизации метода Эйлера как

(10.11)

Отметим, что величина зависит как от величины шага , так и от вида правой части дифференциального уравнения и от отрезка . Однако здесь выделена явно только зависимость от , поскольку в предложении (10.8) с помощью разложения Тейлора, аналогично (10.6), можно получить оценку

(10.12)

Здесь воспользуемся стандартным обозначением (символ Ландау) для величины, стремящейся к нулю при с той же скоростью, что и . Напомним, что в общем случае говорят, что функция равна , если при величина ограничена.

Задача теперь состоит в том, чтобы связать локальную ошибку дискретизации с глобальной ошибкой дискретизации. Если обозначить ошибку через , то согласно (10.5) и (10.10), получим

(10.13)

Предположим теперь, что функция имеет ограниченную частную производную по второй переменной:

(10.14)

Тогда по теореме Лагранжа о среднем значении при некотором имеем

Используя эту оценку и заменяя на , из формулы (10.13) получим оценку

(10.15)

Полагая здесь и раскрывая последовательность в (10.15), получаем оценку

(10.16)

Справедлива следующая

Т е о р е м а 2 (ошибка дискретизации метода Эйлера). Если функция f(x,y) имеет ограниченную частную производную по второй переменной и если решение задачи (10.3) — (10.4) имеет ограниченную вторую производную, то глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера Е(h) = О(h).

Анализ показывает, что глобальная ошибка дискретизации есть О(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближенное решение будет все более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. ожидается, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в 2 раза.

Дата добавления: 2015-05-26