Устойчивость, неустойчивость

Конспект помогли составить И.В. Лурье, А.С. Межакова, А.А. Сируков.

Одним из центральных вопросов, пронизывающих все научное программирование, является проблема устойчивости. Этот термин используется слишком часто и в зависимости от контекста может иметь различные значения. В этом разделе обсудим несколько аспектов проблемы устойчивости в том смысле, как она понимается при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

4у" – 10у' – 11y = 0 (12.1)

с начальными условиями

у(0)=1, y'(0)= –1. (12.2)

Характеристическое уравнение имеет вид

k ² – 10k – 11 = 0. Его корни – k₁ = –1, k₂ = + 11.

Общее решение задачи Коши (12.1), (12.2) имеет вид

y(x) = С₁ e^-x + С₂ e^11x.

Найдем постоянные из начального условия

С₁ = 1, С₂ = 0.

Решением задачи, как легко проверить, является функция у(х) = е^-x. Рассмотрим возмущенную задачу. Предположим теперь, что мы изменили первое начальное условие на малую величину ε. Тогда начальные условия примут вид

y(0)=1 + ε, y'(0) = –1. (12.3)

Как легко убедиться непосредственной подстановкой, решением уравнения с этими начальными условиями будет функция

. (12.4)

Экспонента с большим показателем приведет к росту решения.

Следовательно, при любом сколь угодно малом ε > 0 второй член в (12.4) приводит к тому, что решение стремится к бесконечности при х → ∞.

Сначала решение задачи (12.1), (12.2) убывает, но, начиная с некоторого значения x, оно начинает расти, т.к. проявляется растущее слагаемое exp(11 x).

Говорят, что решение у(х) =e^-х задачи (12.1)-(12.2) является неустойчивым. Это означает, что сколь угодно малые изменения начальных условий могут вызвать сколь угодно большие изменения решения при х→ ∞. В численном анализе такие задачи обычно называют плохо обусловленными (см. раздел 4). В этом случае крайне сложно получить указанное решение численно, поскольку ошибки округления и усечения оказывают такое же влияние, как и изменение начальных условий, и приводят к тому, что решение уходит в бесконечность.

Еще более резко неустойчивость может проявиться в нелинейных уравне­ниях. Например, задача

y' = xy (y – 2), y(0) = 2 (12.5)

имеет решение у(х) ≡ 2, которое является неустойчивым.

Разделим переменные

. (12.6)

Разложим на простые дроби

(12.7)

и приведем к общему знаменателю 1 = A (y–2) + B y.

Необходимо, чтобы это выражение было тождественным. Тогда

A = – B, A = –1/2.

, (12.8)

где С - постоянная интегрирования, . Окончательно получим

. (12.9)

Из начального условия определяем константу С₁=0.

Рассмотрим возмущенную задачу (20.5):

y' = xy (y – 2), y(0) = 2+ ε, ε - бесконечно малое. Найдем новую константу С и решение

.

(12.10)

Имеем 2 случая:

a) если ε < 0, то решение убывает и стремится к нулю;

б) если ε>0, то в знаменателе имеется точка, в которой он обращается в нуль. Следовательно, решение стремится к бесконечности.

Дата добавления: 2015-05-26