Пример 2. Предположим, что некоторому студенту пришла в голову мысль «подправить» метод Эйлера с целью, конечно

Предположим, что некоторому студенту пришла в голову мысль «подправить» метод Эйлера с целью, конечно, улучшить дело.

Рассмотрим многошаговый метод:

(12.23)

Сравним с методом Эйлера. Кажется, что замена шага h на 2h и сдвиг точки на один узел влево не дадут никаких последствий. Однако разберемся в этом, применив метод (12.23) к задаче:

, . (12.24)

Разделим , интегрируем .

Тогда решение имеет вид

.

Определяем константу , тогда

. (12.25)

Проверим устойчивость по начальным данным. Рассмотрим возмущенную задачу

, . (12.26)

Найдем новую константу в общем решении .

Получим решение:

. (12.27)

Функция экспоненциально убывает, следовательно, решение устойчиво и никаких «подводных камней» не видно.

Применим предлагаемый метод (12.23) к (12.24) и получим разностное уравнение:

, . (12.28)

Применим теорию разностных уравнений к равенству (21.28), которое перепишем следующим образом:

, , , , . (12.29)

Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни

, . (12.30)

Таким образом, для решения уравнения (12.29) по формулам (12.14) - (12.16) получили представление

. (12.31)

Оно позволяет легко определить поведение при . Действительно, при любой фиксированной величине шага h > 0 очевидно, что

.

Следовательно, при первое слагаемое в выражении (12.31) стремится к нулю, рассмотрим поведение второго слагаемого.

Возьмем, например, последовательность , где k = 1,N. Тогда имеет место последовательность: –2, 4, –8, 16, –31… Члены последовательности растут, меняя знак («скачут»), т.е. последовательность расходится. Аналогично ведет себя второе слагаемое. Так как точное решение (12.25) задачи (12.24) стремится к 0.5 при , ясно, что погрешность приближенного решения стремится к бесконечности и метод (12.23) в применении к задаче (12.24) оказывается неустойчивым. Подчеркнем, что этот рост погрешности никак не связан с ошибками округления, так как формула (12.31) является точным математическим представлением для .

Приведенный пример ясно показывает, насколько важно, чтобы метод был в определенном смысле устойчивым. Определение устойчивости можно сформулировать [5] так:

. (12.32)

Метод (12.32) является устойчивым, если все нули полинома

(12.33)

удовлетворяют условию и любой нуль такой, что , является простым. Если в дополнение к этому m – 1 нулей полинома (12.33) таковы, что , то метод (12.32) является строго устойчивым.

Любой метод, имеющий по крайней мере первый порядок точности, должен удовлетворять условию и, следовательно, l = 1 должно быть корнем соответствующего полинома (12.33). В этом случае для любого строго устойчивого метода полином (12.33) будет иметь один нуль, равный 1, а все остальные нули по абсолютной величине будут строго меньше, чем 1. Так как методы Рунге-Кутта являются одношаговыми, то для них . Этот полином не имеет никаких других нулей, кроме , и, следовательно, методы Рунге-Кутта всегда строго устойчивы. В случае m-шагового метода Адамса такого, что остальные m – 1 корней (12.33) равны нулю, такие методы также строго устойчивы.

Для метода (12.29), рассмотренного в Примере 2, полином (12.33) принимает вид и имеет два нуля: +1 и –1. Следовательно, этот метод устойчив, но не строго устойчив. Именно отсутствие строгой устойчивости и приводит к неустойчивому поведению последовательности , порождаемой формулой (12.29). Это можно пояснить следующим образом. Разностное уравнение (12.29) имеет второй порядок (так как в него входят и ) и, следовательно, имеет два фундаментальных решения и , где и – корни характеристического уравнения, определяемые формулами (12.30). Последовательность , получаемая по методу (12.29), строится с целью аппроксимации решения дифференциального уравнения первого порядка (12.24), которое имеет одно фундаментальное решение. Это фундаментальное решение аппроксимируется последовательностью ; последовательность же является «паразитной» и должна быстро стремиться к нулю, чего не происходит.

Однако при любом h>0 и, следовательно, стремится к бесконечности, а не к нулю; именно это и вызывает неустойчивость. Заметим теперь, что при h 0 значения и стремятся к нулям полинома устойчивости (12.24). Действительно, этот полином является предельным при h 0 для характеристического полинома уравнения (21.19). Понятие строгой устойчивости теперь становится более очевидным. Если все, за исключением одного, нули полинома устойчивости по абсолютной величине меньше единицы, то при достаточно малом h все, кроме одного, корни характеристического уравнения рассматриваемого метода будут по абсо­лютной величине меньше единицы. Следовательно, степени этих корней, являющихся "паразитными" фундаментальными решениями разностного уравнения, будут стремиться к нулю и не приводить к возникновению неустойчивости.

Теория устойчивости, которую мы только что обсудили, касается, по существу, устойчивости в пределе при h 0.

Дата добавления: 2015-05-26