Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка

Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка.

. (12.19)

Разделим переменные , после интегрирования имеем

. (12.20)

Константа интегрирования определяется из начального условия .

Введем сетку .

Применим метод Эйлера к (12.19). В данном случае получаем

. (12.21)

Это разностное уравнение со значением m = 1. В том случае, когда известно точное решение, формулы общей теории разностных уравнений не нужны, можно воспользоваться вторым замечательным пределом:

Ставится вопрос: каким надо выбрать , чтобы предел был выполнен. В данном случае ответ очевиден -

.

Т.е. решение разностного уравнения имеет вид .

Сделаем проверку. Вычислим:

. (12.22)

Подставим в уравнение (12.21) и убедимся, что это тождество. Т.о., экспоненциальная функция при разностной аппроксимации приближается к степенной функции. При 0 < h < 1 она убывает, следовательно, решение устойчиво. Решим (12.21) с помощью формул общей теории разностных уравнений. Для уравнения (12.21) получаем тот же результат m = 1. Характеристическое уравнение имеет вид , . Все остальное слагаемые в формулах (12.14) – (12.16) равны 0.

Покажем, что для получения правильного результата численного расчета необходимо, чтобы было устойчиво решение и устойчив сам численный метод.

Рассмотрим

Дата добавления: 2015-05-26