Теория разностных уравнений

Теория разностных уравнений имеет много параллелей с теорией дифференциальных уравнений. Мы кратко обрисуем основные элементы этой теории в случае линейных разностных уравнений порядка m с постоянными коэффициентами. Такие уравнения имеют форму

y_n+1 = a_m y_n +... + a₁ y_n-m+1 + a₀, n = m-1, m, m+1,..., (12.11)

где а_о,а₁,...,а_т – заданные постоянные.

Однородная часть уравнения (21.11) имеет вид

y_n+1 =a_my_n + … + a₁ y_n-m+1. (12.12)

По аналогии с дифференциальными уравнениями второго порядка (исключая резонансный случай) попытаемся найти для уравнения решения экспоненциального типа. Только в этом случае в качестве экспоненты будем брать выражение у_k = λ^k с некоторой неиз­вестной постоянной λ. Если l удовлетворяет уравнению

λ^m – a_m λ^m-1 –... – a₁= 0, (12.13)

которое представляет собой характеристическое уравнение для (12.12), то y_k= λ^k действительно является решением (12.12). Если предположить, что все m корней λ₁ ,..., λ_m уравнения (12.13) различны, то последова­тельности λ^k₁,..., λ^k_m образуют фундаментальную систему решений и общее решение уравнения (12.12) можно записать в виде

y_k = c_iλ^k_i, k=0, 1,...., (12.14)

где – произвольные постоянные. Если 1 - - - … - 0, то, как легко проверить, «частное решение» выражается формулой

= /(1- - …- ). (12.15)

Следовательно, общее решение уравнения (21.11) есть сумма (21.14) и (21.15):

= + , k = 0,1,... (12.16)

Как и в случае дифференциальных уравнений произвольные постоянные в (21.16) определяются из дополнительных условий, накладываемых на решение. Так, если заданы начальные значения

(12.17)

то из (21.18) следуют условия

+ = , k = 0,1,...,m -1, (12.18)

представляющие собой систему m линейных уравнений относительно m неизвестных c₁ …,c_m, которую можно использовать для определения значений c_j.

Дата добавления: 2015-05-26