Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки от центра равно радиусу , т. е. . Но , где . Следовательно,

,

или

.

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение . Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Дата добавления: 2015-05-29