Рівновага тіла під дією плоскої системи сил при наявності тертя ковзання

(ЗАДАЧА СЗ)

Однорідний стержень вагою Р= 24 Н прикріплений шарнірно до невагомих повзунів 1 і 2 (рис. СЗ.0 - СЗ.9, табл. СЗ). Коефіцієнти тертя повзунів по напрямкам, уздовж яких вони можуть ковзати, рівні відповідно f ₁ і f ₂. До повзунів прикладені сили Q ₁ і Q ₂ показані на рисунках. Механізм розташований у вертикальній площині.

Визначити величину, зазначену в таблиці в рядку «Знайти», де позначено: (або ) - найменше значення сили Q ₁ (або Q ₂), при якому має місце рівновага; (або ) - найбільші значення тих же сил, при яких зберігається рівновага; (або ) - найменше значення коефіцієнта тертя, при якому зберігається рівновага.

Вказівки. Задача СЗ - на рівновагу тіла під дією плоскої системи сил при наявності тертя ковзання. При рішенні задачі варто розглянути граничне положення рівноваги, коли . Рівняння рівноваги вирішуються простіше, якщо їх скласти у вигляді рівнянь моментів щодо крапок, де перетинаються лінії дії двох невідомих сил (замість одного з таких рівнянь можна скласти рівняння проекцій на вісь перпендикулярну невідомій силі).

Умова =0 (або =0)означає, що повзун 1 (або 2) гладкий; відповідну силу тертя на кресленні не зображувати і у рівняння не вводити (введення цієї сили, для того щоб потім покласти f =0, сильно ускладнить рішення).

Таблиця С3

Номер умови
, H		-			-	-			-
, H	-			-			-			-
		0,15		0,2		0,2		-		0,15
	0,2		-		0,15		0,15		0,2
Знайти

Приклад СЗ. Твердий зігнутий стержень ADB вагою Р () розташований у вертикальній площині, прикріплений шарнірами до повзунів 1 і 2 (рис. СЗ). Лінія дії сили проходить на відстані h від сторони АD. У середині сторони AD прикладена горизонтальна сила Q. Коефіцієнт тертя повзуна 1 об направляючи дорівнює f; повзун 2 гладкий.

Кут між направляючими 120°. Визначити: Q " - найбільше значення сили Q, при якому зберігається рівновага.

Дано:		Рішення. 1. Розглянемо граничну рівновагу зігнутого стержня, при якому Q=Q". Зображуємо діючі на нього сили , , нормальні реакції , і граничну силу тертя прикладену до повзуна 1.
Р= 40 H ВD=b= 0,8 м h = 0,3 м а =0,2 м f 1=0,3
Q " -?

Те, що сила має найбільше можливе чисельне значення, означає, що при її подальшому збільшенні рівновага порушиться і під дією сили повзун 1 почне ковзати вліво, а повзун 2 - нагору. Отже, при рівновазі сила , що утримує повзун 1 від ковзання вліво, спрямований вправо (напрямок сили при рішенні подібної задачі треба обов'язково установити і показати цей напрямок на рисунку вірно).

2. Тому що сила тертя, що виражається через нормальну реакцію, діє лише на повзун 1, то реакцію N ₂ можна не визначати і скласти тільки два рівняння рівноваги, у які N ₂ не ввійде. Для цього проведемо спочатку лінії дії невідомих реакцій і до їхнього перетинання в точці Е и складемо рівняння у яке і не ввійдуть.

Одержимо, покладаючись, що Q = Q":

; (1)

де м. Тоді при заданих значеннях h і а рівняння (1) прийме вигляд

відкіля знаходимо

(2)

Рівність (2) не може дати <0, оскільки напрямок сили був заздалегідь встановлений і показаний на рис. СЗ вірно.

Отже, повинно бути:

або Q" > 0,45P. (3)

Для визначення N ₁ можна скласти або рівняння моментів щодо точки, де перетинаються лінії дії сил і , або рівняння проекцій на вісь, перпендикулярну .

Складемо, провівши вісь Вх, рівняння .

Одержимо:

. (4)

Звідси, заміняючи його значенням (2), знайдемо остаточно:

(5)

Для визначення Q" врахуємо, що коли рівновага є граничною, те і N ₁ пов'язані співвідношенням

(6)

Підкреслимо, що в цю рівність входять модулі сил. В нашому випадку , тому що було встановлено, що >0 і дається рівністю (2). Але затверджувати, що в рівності (5) N ₁>0 немає основ, тому що напрямок може бути і протилежно показаному на рис. СЗ. Тому розглянемо обидва можливих випадки:

а) N ₁>0 (реакція спрямована так, як показано на рис. СЗ).

Тоді, підставляючи в (6) значення і N ₁ з (2) і (5) і врахувавши, що f =0,3, одержимо

відкіля знаходимо

(7)

б) N ₁>0 (напрямок протилежний показаному на рис. C3).

Тоді і рівність (6) дає

відкіля:

(8)

З отриманих результатів (7) задовольняє нерівності (3), а (8) не задовольняє. Отже, остаточна відповідь Q" =29,2 Н.

Відповідь: Q" =29,2 Н.

Примітки: 1. Якщо в задачі потрібно знайти найменше значення Q' сили , при якому зберігається рівновага, то це означає, що при подальшому зменшенні сили Q вона не удержить зігнутий стержень у рівновазі і під дією сили Р повзун 2 почне сковзати вниз, а повзун 1 - вправо; отже, у цьому випадку сила , що утримує повзун 1 від ковзання вправо, буде спрямована вліво (протилежно показаної на рис. СЗ).

Далі весь хід рішення залишається таким же, як у розглянутому прикладі.

2. Якщо в задачі всі діючі сили задані і треба знайти найменший коефіцієнт тертя f, при якому зберігається рівновага, то силу (як і реакції) можна направляти в будь-яку сторону і, склавши рівняння рівноваги, аналогічні, наприклад рівнянням (1) і (4) у розглянутому прикладі, знайти з них і N _1. При цьому, оскільки діючі сили задані, для і N _1.вийдуть конкретні числові значення. Ці значення і варто підставити в рівняння (6) і знайти з нього f'. Якщо при розрахунках вийде <0 або N ₁<0, то це означає лише, що напрямок відповідної сили протилежно показаному на рисунку, але результат не зміниться, тому що в (6) входять модулі сил.

Дата добавления: 2015-06-04