Пример 3.22

Т S

0,1

Пример 3.21

Рассмотрим неточное утверждение «стоимость велосипеда в этом магазине составляет от 3 до 6 тысяч рублей». Адекватной формализаци­ей этого утверждения может считаться нечеткий интервал А вида

А ® В = (m_A + m_B, a_A + oc_B, P_A + /?_B)_LP.

(3.136)

А = (3, 6, а, р\_р

(3.139)

Другие арифметические операции (например, умножение и деле­ние) над нечеткими числами типа L—P более сложны, а их результат име­ет приближенный характер.

Функция принадлежности fi_A(x) нечеткого числа типа L-P принима­ет значение 1 только в точке х = т. Модифицируем теперь определение 3.22 так, чтобы fj_fi(x) - 1 не только в единственной точке х - т, но и во всех точках на интервале [т^, т₂], где т_л< т₂ и т_ьт₂е R. В этом слу-

На рис. 3.24 представлен примерный график функции принадлеж­ности нечеткого интервала (3.139).

3.6. Треугольные нормы

В пункте 3.3 операции пересечения и суммирования нечетких мно­жеств были определены как

= min (ц_А(х), ц_в(х)),

0,5

Рис. 3.23. Иллюстрация к примеру 3.20.

т, =3 т₂ =6 ^х

Рис. 3.24. Иллюстрация к примеру 3.21: нечеткий интервал «от 3 до 6 тысяч рублей».

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.6. Треугольные нормы

= ^max

Вместе с тем подчеркивалось, что это не единственные определе­ния указанных операций. Пересечение нечетких множеств можно задать в более общем виде как

(3.140)

), ju_b(x)),

a, если b = 1,

(3.148)

7_w(a, b)=

b, если а = 1,
0, если a, b ^ 1.

В последующем описании реализацию 7-нормы на аргументах а и b будем обозначать

где функция 7- это так называемая Т-норма. Поэтому т\п(ц_А(х), ц_в(х)) = Т(ц_А(х), ц_в(х)) можно считать примером действия 7-нормы. Аналогично, сумму нечетких множеств можно определить следующим образом:

(3.149)

7(a,fo) = a*fc

Если, например, а и b отождествить с функциями принадлежности нечетких множеств А и 6, то равенство (3.140) можно представить в виде

(3.141)

), ц_в(х)),

где функция S - это так называемая S-норма.

В этом случае тах(^_д(х), ^_в(х)) = S(fi_A(x),,u_B(x)) можно считать при­мером действия S-нормы. Другие примеры действия 7- и S-норм дают определения (3.50) - (3.57). 7- и S-нормы относятся к классу так называ­емых треугольных норм. Мы будем многократно применять их в последу­ющем, причем не только для определения операций пересечения и сум­мирования нечетких множеств.

После знакомства с примерами действия 7- и S-норм рассмотрим их формальные определения.

(3.150)

= Чц_А(х), ц_в(х)) = H_A(x)lfi_B(x)

Определение 3.25

Функция S двух переменных

S: [0, 1] х [0, 1] ~> [0, 1]

(3.151)

называется S-нормой, если она является невозрастающей относительно обоих аргументов, удовлетворяет условию коммутативности и связности, а также граничным условиям

Определение 3.24

Функция 7 двух переменных

7: [0,1] х [0,1] -»[0,1]

(3.142)

называется 7-нормой, если:

1) функция 7 является невозрастающей относительно обоих аргу­
ментов

Т(а, с) < T(b, d) для а < Ь, с < d, (3.143)

2) функция 7 удовлетворяет условию коммутативности

7(а, Ь) = 7(Ь, а), (3.144)

3) функция 7 удовлетворяет условию связности

7(7(а, Ь), с) = 7(а, 7(Ь, с)), (3.145)

4) функция 7 удовлетворяет граничным условиям

7(а, 0) = 0, 7(а, 1) = а, (3.146)

где а, Ь, с, c/g [0, 1].

Произвольная 7-норма ограничивается следующим образом:

7_№(а, Ь)< 7(а, Ь) < min(a, Ь), (3.147)

где T_w - это 7-норма вида

(3.152)

S(a, 0) = a, S(a, 1) =

Функция S также называется ко-нормой либо дополняющей нор­мой относительно 7-нормы. Произвольная норма ограничивается следу­ющим образом:

тах(а, Ь) < S(a, b) < S_w(a, b), (3.153)

где S_w есть 7- норма вида

(3.154)

а, если fo = 0, S_w{a,b)= ] Ь, если а = 0,

1, если a, b ф 0.

Реализацию S-нормы на аргументах а и b будем обозначать

s
S{a,b) = a*b, (3.155)

Следует подчеркнуть, что каждой 7-норме соответствует S-нор-ма, а зависимость между ними выражается равенством

а*Ь = 1-[(1-а)*(1-Ь)]. (3.156)

В таблице 3.1 представлены наиболее часто встречающиеся 7-и S-нормы.

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.7. Нечеткие отношения и их свойства

Таблица 3.1. Треугольные нормы

Nr	T{a,b)					Параметры
	min(d, b)		тах(л fc)
г	ab		д + Ь— йЬ
	шах(л + b - 1,0)		тш(в + Ь, 1)
A	[а, если b - \ Ib, если a «1 [О,если о. Ь* 1		fo,если fc |b, если о ||, есш! а,	= 0 = 0 но
			а + Ь- (2-			У >
	Г+(1-Г)(а + Ь-«*)		1- (1- Г
			а + Ь — ab -	- min(o, Ь, 1 -	а)	о с	[0. 1]
	тах(я, Ь, а)		тах(1 -	«, J - fc. а)
					-1	X >
NH4HJ		МЫ]
	i-Va-o'+a-w-a-	0'0-b)'	</e' + fc' - a			Р >
			minK/a' + fc'	.»)		р г
	^io4^+( -^Xi^})		1 - log.ll +	.-1J		W >	а» * 1
И	__f a + b - 1 + Aafr ^		roin(a + Ь +	lab, 1)		Д. г
V 1 + A )

3.7. Нечеткие отношения и их свойства

Одним из основных понятий теории нечетких множеств считается понятие нечеткого отношения. Эти отношения позволяют формализовать неточные утверждения типа «х почти равно у» или «х значительно боль­ше чем у». Приведем определение нечеткого отношения и комбинации нечетких отношений.

Определение 3.26

Нечеткое отношение R между двумя непустыми множествами (чет­кими) X и Y будем называть нечеткое множество, определенное на декар­товом произведении X х Y, т.е.

(3.157)

RcXxY={(x,y):xeX,y_e Y}.

Другими словами, нечеткое отношение - множество пар

R = {((х, У). R(x, у))}. (3-158)

где

(3.159)

^_R:XxY [0, 1]

- это функция принадлежности, которая каждой паре (х, у) приписывает ее степень принадлежности p._R (x, у), которая интерпретируется как сила связи между элементами xeXnyeY. В соответствии с принятым согла­шением (п. 3.2) нечеткое отношение можно представить в виде

, у)

ИЛИ

R =

(3.161)

XxY

(*.У)

Применим определение 3.26 для формализации неточного ут­верждения «у примерно равно х». Пусть X = {3, 4, 5} и Y = {4, 5, 6}. Отно­шение R можно определить следующим образом:

_06_ 0,4

(3.162)

1. 1. 0,8 0,8 0,8 0,8

(4,4) (5,5) (3,4) (4,5) (5,4) (5,6) (3,5) (4,6) (3,6)

Следовательно, функция принадлежности ц_Й(х, у) отношения R имеет вид

1, если х = у, 0,8, если |х-у|=1,

(3.163)

x< У) =

0,6, если | х —у |= 2, 0,4, если |х-у|=3.

Отношение R можно также задать в виде матрицы

У\ Уг Уз 0,8 0,6 0,4"

х₂

(3.164)

1 0,8 0,6 0,8 1 0,8

где

= 3, х₂ = 4, х₃ = 5, а у, = 4, у₂ = 5, у₃ = 6. Пример 3.23

Пусть X = Y = [0, 120] - это длительность жизни человека. В этом случае отношение R с функцией принадлежности

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.7. Нечеткие отношения и их свойства

О,

x, У) =

(3.165)

30 1,

если х - у < 0, если 0 < х - у < 30, если х - у > 30

*. У) = m'n^fifr У). H_s(x, у)), * У) = тах(^(х, у), _%(х, у)), Vr(x, У) = 1 - Ai_R(x, У).

представляет неточное утверждение «особа х намного старше особы у». Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение R - это нечеткое множество, поэтому сохраняют силу введенные в п. 3.3 определения опе­раций пересечения, суммирования и дополнения:

(3.166) (3.167) (3.168)

причем X = {х-,, х₂}, Y = {у_ь у₂}, Z = {z_v z₂}. Комбинация типа max-min от­ношений R и S имеет вид

q₁₂ 922

(3.173)

Q=RcS

[0,2 0,5] [0,3 0,6 0,8] [с^ ⁼ [0,6 1 J ° [о,7 0,9 0,4 J [q₂₁

где

q_n = max[min(0,2; 0,3), min(0,5; 0,7)] = 0,5, ц_Л2 - max[min(0,2; 0,6), min(0,5; 0,9)] = 0,5, q₁₃ = max[min(0,2; 0,8), min(0,5; 0,4)] = 0,4, q₂₁ = max[min(0,6; 0,3), min(1; 0,7)] = 0,7, Q22 = max[min(0,6; 0,6), min(1; 0,9)] = 0,9, q₂₃ - max[min(0,6; 0,8), min(1; 0,4)] = 0,6.

Поэтому

В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбина­ции двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества X, Y, Z и два нечетких отношения RcXxYmScYxZc функциями принадлеж­ности)U_R(X, У) И)U_s(y, 2).

Дата добавления: 2015-06-04