Пример 3.28

Основные правила вывода в нечеткой логике

Пример 3.27

Продолжая пример 3.26, можно.понять, что если «У Яна нет води­тельского удостоверения», т.е. В = 0 (В = 1), то «Ян не является водите­лем», т.е. А = 0 (А = 1). В этом примере тоже из истинности предпосылки и импликации следует истинность вывода.

Мы представили всего два правила вывода в двоичной логике, ко­торые будут обобщаться на случай нечеткости. Конечно, в двоичной ло­гике существует множество других правил вывода. Интересующиеся мо­гут ознакомиться с обширной литературой, посвященной этой тематике (например, [27]).

Расширим теперь основные правила вывода в двоичной логике на случай нечеткости. Допустим, что присутствующие в правилах modus ponens (3.187) и modus tollens (3.188) суждения характеризуются некото­рыми нечеткими множествами. Таким способом мы получаем обобщен­ное правило вывода modus ponens и обобщенное правило вывода modus tollens. В последующем изложении зависимости типа «Если А, то В» бу­дем записывать в символике классического языка программирования ALGOL в виде IF A THEN В. По этой причине в некоторых русскоязычных формулировках будут встречаться английские термины.

3.8.2.1. Обобщенное нечеткое правило modus ponens Определение 3.31

(3.189)

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens определя­ется следующей схемой вывода:

Условие Импликация	хэтоЛ' IFх это A THENу это В
Вывод	у это В'

где ДЛ'сХиб.В'сХ- нечеткие множества, в то время как х и у - так называемые лингвистические переменные.

Лингвистическими называются переменные, значения которых представляют собой слова или суждения на естественном языке. В каче­стве примеров можно привести выражения типа «малая скорость», «уме­ренная температура» или «молодой человек». Подобные выражения можно формализовать приписыванием им некоторых нечетких множеств. Следует подчеркнуть, что лингвистические переменные помимо словес­ных значений могут иметь и численные значения - также, как обычные математические переменные. Следующий пример иллюстрирует обоб­щенное (нечеткое) правило вывода modus ponens и разъясняет понятие «лингвистическая переменная».

Рассмотрим следующую схему вывода:

Условие Импликация

(3.190)

Скорость автомобиля большая Если скорость автомобиля очень боль­шая, то уровень шума высокий

Вывод

Уровень шума в автомобиле не очень высокий

В приведенной схеме условие, импликация и вывод - неточные ут­верждения. В качестве лингвистических переменных выделим: х - ско­рость автомобиля, у- уровень шума. Множество

Г(= {«малая», «средняя», «большая», «очень большая»}

- множество значений лингвистической переменной х. Аналогично мно­
жество

Т₂ - {«малый», «средний», «не очень высокий», «высокий»}

- множество значений лингвистической переменной у.

Каждому элементу множеств Т_л и Г₂ можно приписать соответству­ющее нечеткое множество. В результате анализа схем вывода (3.189) и (3.190) получаем следующие нечеткие множества:

А - «очень большая скорость автомобиля», А' = «большая скорость автомобиля»

и

В = «высокий уровень шума»,

В' = «не очень высокий уровень шума».

Читатель может самостоятельно построить функции принадлеж­ности для этих нечетких множеств, аналогичные представленным на рис. 3.7. Рассмотрим различия между четким (3.187) и нечетким (3.189) правилами. В обоих случаях импликация имеет один и тот же вид А ->■ В, где А и В - это суждения (правило 3.187) либо нечеткие множества (пра­вило 3.189). Суждение А из импликации четкого правила также присутст­вует в предпосылке этого правила. В то же время условие нечеткого пра-

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

вила не связано с нечетким множеством А, но содержит некоторое нечет­кое множество А', которое может в определенном смысле быть близким к А, однако не обязательно А = А'. В примере 3.28 нечеткое множество А - «очень большая скорость автомобиля» не равно нечеткому множест­ву А' = «большая скорость автомобиля». В результате выводы схем (3.187) и (3.189) отличаются друг от друга. Вывод нечеткого правила от­носится к некоторому нечеткому множеству В', которое определяется комбинацией нечеткого множества А' и нечеткой импликации А -> В, т.е.

В' = А'о{ _>). (3.191)

Нечеткая импликация А -> В равнозначна некоторому нечеткому отношению RcXxYc функцией принадлежности /л_я(х, у). Поэтому функ­цию принадлежности нечеткого множества 6' можно представить с помо­щью формулы (3.176), которая записывается в виде

3.8. Нечеткий вывод

Таблица3.3. Интуитивные отношения между условиями и выводами обобщенного нечеткого правила modus ponens
Отношение	Условие х это А'	Вывод у это В'
	хэтоА	у это В
2а	х это «очень А»	у это «очень В»
2Ь	х это «очень А»	у это В
За	х это «почти А»	у это «почти В»
ЗЬ	х это «почти Ау>	у это В
4а	х это «не А»	у не определено
4Ь	х это «не А»	у это «не В»

(3.192)

ХеХ

причем ц_А_+_в (х, у) = n_R (х, у). В частном случае, когда Г-норма имеет тип min, формула (3.192) принимает вид

(3.193)

хеХ

Читатель легко заметит, что если

A = A'uB = b: (3.194)

то обобщенное нечеткое правило modus ponens (3.189) упрощается до рассмотренного в п. 3.8.1 правила modus ponens (3.187).

Теперь допустим, что применяется импликация А -> В из схемы (3.189), а нечеткое множество А' (условие) последовательно принимает значения:

А'=А\

А' = «очень А», причем ^.(х) = ц²_А (х); А'= «почти А», причем /л_Д,(х) = /i,j^/2(x); А' = «не Л», причем /л_д, (х) = 1 - /л (х).

Нечеткое множество «очень А» определяется при помощи опера­ции концентрации (3.78), нечеткое множество «почти А» - при помо­щи операции разбавления (3.79), а нечеткое множество «не Аъ - при по­мощи операции дополнения (3.62). В таблице 3.3 приведены (см. [10]) фактические отношения, которые могут связывать нечеткие множества А' и В'. Отношение 1 - это схема modus ponens (3.187), отношения 2b и ЗЬ возникают в случае отсутствия сильной связи между А' и В', отноше­ние 4а означает, что из предпосылки «х это не А» нельзя сделать вывод об у.

3.8.2.2. Обобщенное нечеткое правило modus tollens Определение 3.32

(3.195)

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus tollens определя­ется следующей схемой вывода:

Условие Импликация	у это В' IFх это A THENу это Б
Вывод	х это А '

где ДЛ'сХиВ.Б'сХ- это нечеткие множества, в то время как х и у -это лингвистические переменные.

Дата добавления: 2015-06-04