Решение типовых задач. Производные высших порядков

Производные высших порядков

Понятие дифференциала

Если функция дифференцируема в точке х, т. е. имеет в этой точке конечную производную то ее приращение можно записать в виде

где .

Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается

или .

Производная называется производной первой порядка. Производная от называется производной второго порядка (или второй производной) от функции и обозначается или . Производная от называется производной третьего порядка (или третьей производной) от функции и обозначается или и т. д.

Производные n-го порядка есть производная от производной (n - 1)- го порядка, т. е.

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка.

Задание 1. Используя определение производной, найти производную функции в точке .

Решение. Придавая аргументу х в точке х₀ приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим соотношение

.

Найдем предел этого отношения при :

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так:

Задание 2. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

1)

2)

3)

4)

Решение.

Задание 3. Найти дифференциал функции в точке x= 2.

Решение:

Следовательно,

Задание 4. Найти производные второго порядка от следующих функций:

Решение:

Дата добавления: 2015-06-26