Пределы и их свойства

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что | | < при n > N. В этом случае пишут .

Определение. Число А называется пределом функции f (x) при x a, если для любого сколь угодно малого > 0 найдется такое > 0, что | f (x) – A | < при 0 < | x – a | < . В этом случае пишут: .

Свойства пределов:

1) ;

2) ;

3) .

При С = const

4) ;

5) .

Используются также следующие пределы:

– первый замечательный предел;

– второй замечательный предел.

При вычислении пределов полезно иметь в виду следующие равенства:

, , .

Таблица простейших пределов ():

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Вычисляя пределы, следует иметь в виду, что предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: . Нарушение ограничений, налагаемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида: Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (в отношении многочленов при );

3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4) использование двух замечательных пределов.

Дата добавления: 2015-06-26