Центр масс и центр тяжести тела

Центр масс тела вводится по определению как некоторая, вообще говоря, геометрическая точка, положение которой определяется формулой

; (1)

, - радиус-векторы центра масс и некоторой точки тела, в окрестности которой выделен элементарный объём dV, соответственно; - плотность материала и масса тела. Введённое понятие центра масс справедливо не только для твёрдого тела, но и для системы конечного числа материальных точек, не образующих твёрдого тела.

Понятие центра тяжести вводится для твёрдого тела в однородном поле силы тяжести вблизи Земли. Выделим элементарные объёмы в окрестности двух различных точек некоторого тела, находящегося вблизи Земли. Воздействие Земли на эти частицы сведётся к силам тяжести (собственно моменты для материальных точек равны нулю). Сила тяжести каждой выделенной частицы направлена по вертикали места вниз. Так как форма Земли близка к шару (радиуса км), то силы тяжести двух выделенных частичек тела, строго говоря, не параллельны. Однако размеры тела обычно малы по сравнению с расстоянием до точки пересечения их линий действия. Поэтому приближённо вполне допустимо считать силы тяжести различных его частичек практически параллельными. Это обстоятельство (по аналогии с рассмотренными ранее распределёнными нагрузками) позволяет предположить существование центра силового воздействия Земли на это тело. По определению, поворот тела вокруг этого центра не должен вызывать сопротивления Земли. Покажем, что такой центр действительно существует, и найдём его положение. Рассмотрим весомое тело, Рис.29, находящееся в равновесии при действии на него некоторых сил (они не показаны, так как. нас в данный момент будут интересовать лишь силы тяжести).

Выделим в теле элементарный объём dV, вес которого равен ; - вектор ускорения свободного падения. Найдём суммарную силу, с которой Земля действует на рассматриваемое тело, используя аддитивность воздействий

. (2)

Интегрирование выполняется по объёму тела. Рис.29. К отысканию

Выберем в качестве точки приведения некоторую центра тяжести тела

точку В тела, и найдём сумму моментов относительно этой точки распределённых сил тяжести:

. (3)

Зафиксируем произвольную точку О, Рис.29, и представим вектор в виде разности: . Учитывая это и равенства (1) и (2), получим

. (4)

Видно, что если точку приведения В совместить с центром масс С тела, то момент будет равен нулю: . Следовательно, точка С есть центр силового воздействия Земли на тело. Найдём положение этой точки.

Преобразуем формулу (3), выбрав в качестве точки приведения точку С и введя орт , направленный так же, как и сила тяжести, т.е. вертикально вниз:

. (5)

Так как в векторном произведении (5) перемножаемые векторы не лежат на одной прямой и орт не равен нулю, то должен быть равен нулю вектор в круглых скобках. Отсюда находим радиус- вектор центра силового воздействия Земли на тело, который называют центром тяжести тела

. (6)

Из формулы (3) следует, что суммарный момент относительно произвольной опорной точки О сил тяжести, распределённых по объёму тела, равен моменту относительно той же точки веса всего тела, приложенного в точке С. Поэтому на исходных силовых схемах часто сразу показывают силы тяжести весомых тел в их центрах тяжести. Но в данном пособии сила - свободный вектор.

Разделив мысленно всё тело на малые объёмы , и направляя радиус- векторы в центры этих объёмов, можно приближённо заменить интеграл в (5) суммой

. (7)

Если плотность материала тела одинакова по всему его объёму, то плотность можно вынести за знаки интеграла и суммы в правых частях равенств (5) и (6). В результате получим формулы, определяющие центр тяжести объёма

; (8)

. (9)

Формулы (7) и (8) определяют положение центра тяжести объёма.

Аналогичным образом можно получить формулы для радиус- векторов центров тяжести тела в виде тонкой поверхности (или плоской пластины)

; (10)

; (11)

и линии:

; (12)

. (13)

В формулах (10)-(13) S, L – площадь всей поверхности и длина всей линии соответственно; и - площадь и длина к-го малого участка поверхности или линии.

Проецируя векторные формулы (6-13) на оси декартовой системы координат можно определить координаты центра тяжести тела. Например, умножив скалярно обе части формул (9) и (11) на орт оси Ox, найдём:

; (14)

. (15)

Аналогично можно получить формулы для других координат центра тяжести тела.

Если тело можно разделить на такие части, положение центров тяжести которых известно, то формулы (7), (9), (11) и (13)-(15) становятся точными.

При наличии у тела плоскости симметрии или оси симметрии его центр тяжести расположен в плоскости симметрии или на оси симметрии.

Дата добавления: 2015-06-04