Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто упо­требляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозна­чений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |y|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это де­лали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t +D t оказалась бы в состоянии | i >:

Матричный элемент <i | U(t, t +D t) | j > — это амплитуда того, что базисное состояние | j > превратится в базисное состоя­ние | i > за время D t. Затем мы определяли Н_ij при помощи

и показывали, что амплитуды C_i (t)=< i |y(t)> связаны диф­ференциальными уравнениями

Если амплитуды C_i записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

Далее, матричные элементы H_ij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде < i | H | j >; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

Мы видим, что —i/h <1| H | j > — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние | j > за время dt «генерирует» состояние | i >. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» < i |, поскольку (9.17) справедливо при любом | i >, и записать это уравнение просто в виде

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н | j > или в Н |y> называется оператором. Отныне на операторы мы бу­дем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать

. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |y> рав­няется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду < j |y> того, что y окажется в состоянии j, и просуммирован­ному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на ih) от состояния |y> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильто­нианом Н на вектор состояния |y>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состоя­ния |y>. Кроме того, левая сторона ihd/dt — это тоже опера­тор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на ih». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между опера­торами — операторное уравнение

Ih(d/dt)=

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представ­лениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |y> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

Как же меняется |y> во времени? Продифференцируем его:

Но базисные состояния | i > во времени неменяются (по край­ней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды < i |y>—это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) прекращается в

Но ведь d < i |y>/dt нам известно—это (9.16); получается, сле­довательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов H_ij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» < i | Н |j>, можно представлять себе «матрицу» H_ij и можно считать его

«оператором» H^. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В_х и т. д.), то естественно рассматривать и s^x_ij как амплитуду < i |s _х | j >, или, для краткости, как оператор s^_л. Если приме­нить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |y> в магнитном поле можно написать в виде

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, прихо­дится выражать |y> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы при­менять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда опера­торы о подействуют на каждое базисное состояние. На­пишем s^ _z |+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

<+|?>=1. (9.25)

Теперь умножим s^_z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.

Таблица 9.3 • СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА s^

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под s^ _x s^ _y |+> надо понимать s^ _х (s^ _y |+>). Из табл. 9.3 получаем s^ _y |+>= i |-> так что

Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в

Если сделать то же самое с s^ _x s^ _y |->, то получится

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что s^ _х s ^_у, действуя на |+> или |->, даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором s^ _z и умножить на — i. По­этому можно сказать, что операция s^ _х s ^_y совпадает с операци­ей i s ^_z, и записать это утверждение в виде операторного урав­нения

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших мат­ричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в. табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как

уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить,

что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими

вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа 0

или Н операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения

^: выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.

Дата добавления: 2015-06-04