КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекція 2
Дифракція електронів на двох щілинах. Квантово-механічний закон додавання імовірностей. Вектор стану
Розглянемо дослід К. Девіссона, Л. Джермера і Дж.П. Томсона. Схема досліду зображена на рис. 2. Суть досліду полягала у наступному. Брався екран із системою двох однакових щілин, умовно пронумерованих як „перша” і „друга” щілини. Кожна з них може по команді експериментатора автоматично відкриватися або закриватися. Із джерела електрон потрапляє на екран з двома щілинами і після їх проходження реєструється детектором. Мета досліду полягає у перевірці справджування у даному випадку класичного закону додавання імовірностей.
Рис. 2. Дифракція електронів на двох щілинах.
Для досягнення нашої мети нам достатньо організувати реалізацію таких трьох частин досліду: перша – коли відкрита тільки перша щілина, друга – коли відкрита тільки друга щілина і, насамкінець, третя – коли відкриті обидві щілини. Дослід проводиться з „поодинокими” електронами і багатократно повторюється. Виявляється, що результат експерименту повністю суперечить «здоровому глузду»: ми зіткнулися з парадоксом, що w ≠ w 1+ w 2 . (2.1) Тут wi (x), і = 1, 2, – імовірності того, що електрон як корпускула проходить тільки через фіксовану i -тову щілину і потрапляє в точку x, w (x) – імовірність того, що електрон проходить через систему двох відкритих щілин і потрапляє в точку x. Підкреслимо, що при реалізації третьої частини досліду на екрані з детектором вимальовується інтерференційна картина, аналогічна до тієї, яку б ми отримували у досліді, коли б джерело електронів було б замінено на джерело відповідних хвиль. Це принципово важливе зауваження ми матимемо на увазі, коли спробуємо розгадати парадокс, з яким ми щойно зіткнулися. Парадокс засвідчує, що класичний закон додавання імовірностей у нашому досліді порушується.
Належне пояснення експерименту з електронами вимагає розширення поняття імовірності. Необхідне розширення буде спиратися на т.з. хвильовий рецепт підрахунку імовірностей w(x). Запровадимо у розгляд комплекснозначну величину таку, що w (x)= ψ *(x) ψ (x)=| ψ (x)|2. Комплекснозначну функцію ψ (x) не слід ототожнювати з реальною хвилею. Вона відіграватиме роль амплітуди імовірності. Її також називають хвильовою функцією. Після щойно запровадженного припущення ми замість класичного закону додавання імовірностей введемо закон додавання амплітуд імовірностей: ψ = ψ 1+ ψ 2, (2.2) де ψi – амплітуда імовірності того, що електрон потрапляє в детектор, після проходження i -тової щілини (i =1, 2). Тепер, повну імовірність w визначатиме не класичний, а квантовомеханічний закон додавання імовірностей: . (2.3) Тут δ = δ 1 – δ 2 – різниця фаз амплітуд імовірностей: адже , (i =1, 2), (2.4) . (2.5) Як виявляється, саме цю інтерференційну картину ми і спостерігаємо експериментально, тобто, спостерігаємо картину, що одержується від квантовомеханічного, а не класичного закону додавання імовірностей. Новий квантовий закон передбачає наявність у квантовомеханічній сумі імовірностей інтерференційного доданка . Такого доданку немає у класичному законі додавання імовірностей. Цікавим є таке зауваження: вираз для квантовомеханічного закону додавання імовірностей є ніщо інше, як узагальнення теореми косинусів: якщо ми маємо два вектори – і , то їх сумою є вектор , квадрат довжини якого . (2.6) Аналогія виразу для з виразом є, без сумніву, повною. Через це правомірно амплітуду імовірності ψ (хвильову функцію ψ) вважати вектором стану. В майбутніх лекціях ми побудуємо математичний апарат квантової механіки і тоді зрозуміємо, що стан квантової системи слід зіставляти з векторами деякого абстрактного лінійного простору, т. з. простору Ґільберта.
Ми завершили детальне обговорення та узагальнення експериментальних фактів, на які слід спиратися приймаючи перший основний постулат квантової механіки. Нагадаємо, цей постулат: стан системи у квантовій механіці задається хвильовою функцією ψ. Якщо частинка рухається у тривимірному просторі, тоді хвильова функція у декартових координатах є комплекснозначною функцією просторових змінних x, y, z і часу t. Величина є густиною імовірності перебування частинки в околі точки (x, y, z) у момент часу t (М. Борн, 1926). Отже, величина дорівнює імовірності знаходження частинки в об’ємі навколо точки (x, y, z) у момент часу t. Якщо проінтегрувати цю величину за всіма можливими значеннями x, y, z, ми отримаємо одиницю, тобто частинка знаходиться десь у просторі: , (2.7) де інтегрування відбувається по всьому об’єму V, у якому рухається частинка. Ця рівність має назву умови нормування хвильової функції. Надалі часто будемо вважати, що V є весь тривимірний простір R3.
Хвильова функція вільної частинки (хвиля де Бройля) Зауважимо, що вільною частинкою є така частинка, яка рухається у просторі без впливу зовнішніх силових полів. Для неї усі точки простору є рівноімовірними: . Згідно з гіпотезою де Бройля, з кожною мікрочастинкою пов’язаний коливний процес, частота якого відповідає формулі Планка , . (2.8) Хвильова функція, яка описує вільну частинку з енергією та імпульсом , є так звана хвиля де Бройля: . (2.9) Сталу величину C слід знаходити з умови нормування, але до цього питання ми ще повернемося пізніше, коли запровадимо поняття т. з. δ-функції Дірака. Скажемо ще таке: 1) Хвилю де Бройля назвемо ще плоскою хвилею. Ця назва пов’язана з тим, що рівняння для сталої фази (у фіксований момент часу) є рівнянням площини. 2) Коли буде знайдено сталу C, хвиля де Бройля набуде вигляду . (2.10)
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 410; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |