Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Системой линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется следующая система:

, . (П.1.10)

Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в матричном виде:

, (П.1.11)

где — вектор-столбцы неизвестных функций (времени)

и правых частей (известных функ­ций времени);

— вектор-столбец производных;

— матрицы коэффициентов при неизвестных

функциях.

Если x =0, то система называется нормальной однородной:

. (П.1.12)

Решением однородной системы может быть вектор

где — постоянные.

В самом деле, после подстановки получаем:

,

поскольку , то может быть решением уравнения (П.1.11),

если — собственное число матрицы A,a — отвечающий ему собственный вектор (см. гл. 1):

. (П.1.13)

Собственный вектор является ненулевым решением линейного однородного алгебраического уравнения

,

которое может существовать лишь тогда, когда равен нулю опреде­литель последней системы

. (П.1.14)

Уравнение (П.1.14) называется характеристическим уравнением системы. Оно имеет n корней , поэтому однородная систе­ма имеет n линейно независимых решений

,

где — нормированный собственный вектор, отвечающий собственному числу матрицы A, если все разные и действительные.

Если же есть комплексные (взаимно сопряженные) или кратные корни, то решения получают точно такую же форму, как и в случае линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

, (П.1.15)

где — число пар взаимно сопряженных комплексных корней;

— число действительных корней (для простоты считаем, что

кратных корней нет).

Общее решение неоднородной системы уравнений (П.1.10) сно­ва получаем как сумму общего решения однородной системы и ча­стного решения неоднородной системы. Конкретное решение сис­темы (П.1.10) получается путем определения констант с помощью начальных условий .

Точно так же, как и для линейного уравнения n -го порядка, к решению системы (П.1.10), (П.1.11) можно применить оператор­ный метод, если заданы нулевые начальные условия . Дей­ствительно, применяя преобразование Лапласа к обеим частям ра­венства (П.1.11), получаем

откуда

поэтому осталось по образам восстановить прообразы .

Дата добавления: 2015-06-04