Первый способ определения показателя асимметрии

где K_Аs – коэффициент асимметрии

- средняя величина выборочной совокупности (24,88 см)

- мода (23,87 см)

σ – средне квадратическое отклонение (стандартное отклонение) (7,45 см)

Подставляя в приведённую формулу вычисленные параметры ряда распределения (данные по большой выборке) получаем:

= 24,88 см

= 23,87 см

σ = 7,45 см

Иногда можно значение моды заменить медианой, что также характеризует асимметрию.

Второй способ определения показателя асимметрии по формуле:

где - отклонение средних классов (групповых вариант) от средней величины, см

n_i – частоты классов, шт

σ – стандартное отклонение

N – объём совокупности, шт

Для расчёта численного значения показателя асимметрии необходимо составить таблицу вспомогательных величин

Например имеем следующие данные ряда распределения (большая выборка):

Таблица 1.7 Расчёт вспомогательных величин для вычисления показателя асимметрии

Групповая варианта (хi), см	Частота, (ni) шт	Кубическое отклонение вариант от средней величины , см ^3	ni ×
		- 4809,693	- 9619,385
		- 2136,720	- 8546,879
		- 700,227	- 7702,498
		- 116,214	- 1859,428
		- 0,681	- 20,444
		30,371	425,199
		360,944	3609,441
		1375,037	11000,295
		3456,650	10369,949
		6989,783	13979,565
Сумма		4449,249	11635,814

= 24,88 см

σ = 7,45 см σ ³ = 413,4936 см ³

N = 100 шт

Тогда подставляя полученные данные в приведённую формулу получаем численное значение показателя асимметрии:

Далее вычисляют ошибку и достоверность показателя асимметрии по следующим формулам.

Ошибка показателя асимметрии:

Например:

Оценка достоверности по t – критерию Стьюдента:

Например:

Для оценки достоверности фактическое значение t – критерия Стьюдента необходимо сравнить со стандартным на 5 % уровне значимости, при числе степеней свободы равным бесконечности k = ∞ (t ₀₅ = 1,960).

По приведённому примеру, сравнив фактическое значение критерия со стандартным, можно сделать вывод о том, что опытное распределение деревьев по ступеням толщины близко к симметричному, так как .

В таблице 1.8 представлены данные о силе смещения вершины кривой, по абсолютной величине показателя асимметрии. В курсовой работе сделать вывод о кривой ряда распределения.

Таблица 1.8 Сила смещения вершины кривой

Абсолютное значение показателя асимметрии	Смещение кривой	Характеристика кривой
менее 0,5	малое	симметричная
от 0,5 до 1,0	среднее	асимметричная
более 1,0	большое	крайне асимметричная

Например: пользуясь вычисленными данными асимметрии можно сделать вывод, что смещение кривой малое, а саму кривую ряда распределения можно считать симметричной, так как

Если показатель асимметрии имеет знак «+», то вершина кривой скошена влево от центра распределении (асимметрия левосторонняя), а если знак «–», то вершина кривой скошена вправо (асимметрия правосторонняя).

Показателем, характеризующим меру крутости или вытянутости ряда распределения, является эксцесс. Он отражает степень отклонения эмпирической кривой распределения частот от симметричной куполообразной кривой на своей вершине.

Эксцесс можно определить несколькими способами:

1. используя отношение отклонения вариант от средней величины в четвёртой степени и четвёртую степень среднеквадратического отклонения;

2. используя моменты эмпирического распределения ряда.

Первый способ определения показателя эксцесса по формуле:

где - отклонение средних классов (групповых вариант) от средней величины, см

n_i – частоты классов, шт

σ – стандартное отклонение

N – объём совокупности, шт

Для расчёта численного значения показателя асимметрии необходимо составить таблицу вспомогательных величин

Например имеем следующие данные ряда распределения (большая выборка):

Таблица 1.9 Расчёт вспомогательных величин для вычисления показателя эксцесса

Групповая варианта (хi), см	Частота, (ni) шт	Четвёртая степень отклонения вариант от средней величины , см ^4	ni ×
		81187,612	162375,225
		27520,952	110083,808
		6218,016	68398,180
		567,126	9074,010
		0,600	17,991
		94,759	1326,620
		2569,922	25699,222
		15290,411	122323,285
		52264,544	156793,632
		133644,642	267289,284
Сумма		319358,583	923381,256

= 24,88 см

σ = 7,45 см σ ⁴ = 3080,5275 см ⁴

N = 100 шт

Тогда подставляя полученные данные в приведённую формулу получаем численное значение показателя асимметрии:

Далее вычисляют ошибку и достоверность показателя эксцесса по следующим формулам.

Ошибка показателя эксцесса:

для сравнительно небольших по численности рядов распределения

Например:

Оценка достоверности по t – критерию Стьюдента:

Например:

Для оценки достоверности фактическое значение t – критерия Стьюдента необходимо сравнить со стандартным на 5 % уровне значимости, при числе степеней свободы равным бесконечности k = ∞ (t ₀₅ = 1,960).

По приведённому примеру, сравнив фактическое значение критерия со стандартным, можно сделать вывод о том, что опытное распределение деревьев по ступеням толщины близко к симметричному, так как .

Отрицательное значение показателя эксцесса не может быть меньше, чем -2. Это указывает на то, что данная выборка состоит из вариант относящихся к разным независимым совокупностям. Положительного предела эксцесс не имеет. Чем меньше численное значение эксцесса, тем ближе распределение к симметричному. Если эксцесс меньше 0,4, то вытянутость ряда незначительная.

Если показатель эксцесса имеет знак «+», то вершина кривой приподнята относительно центра распределении (кривая островершинная), а если знак «–», то вершина кривой опущена (кривая плосковершинная или туповершинная).

Например:

Пользуясь вычисленными данными эксцесса можно сделать вывод, что вытянутость ряда незначительная, так как .

Дата добавления: 2015-06-04