Третий способ определения показателей асимметрии и эксцесса с использованием моментов ряда распределения

Моменты распределения – это средние степени отклонений вариант от средней величины или от произвольного числа (условное начало) или от нуля. В связи с этим различают моменты: центральные, условные, начальные. В практике вычисляют ещё и основные моменты, используя численные значения центральных моментов и величины стандартного отклонения.

Степень, в которую возводятся отклонения – это порядок момента.

Моменты не имеют самостоятельного интереса, но с их помощью можно избежав громоздких вычислений, определить все основные статистические показатели ряда распределения.

Моменты распределения можно рассчитать либо способом сумм, либо способом произведений. Последний способ считается наиболее удобным.

Далее в таблице 1.10 приводится схема расчёта моментов.

Таблица 10. Расчёт моментов распределения способом сумм

Групповая варианта (хi), см	Частота, (ni) шт	Условные отклонения ai	Условные отклонения в различной степени
ai × ni	ai^2× ni	ai^3× ni	ai^4× ni	ai + 1	(ai+1)×ni
		- 4	- 8		- 128		- 3
		- 3	- 12		- 108		- 2
		- 2	- 22		- 88		- 1
		- 1	- 16		- 16
Сумма

- в первый столбец вписаны классовые варианты – x_i,см;

- во втором столбце – эмпирическая частота n_i,шт.;

- в третьем столбце производим (кодировку данных) расчёт , где

А – групповая варианта, которой соответствует наибольшее значение частоты (это условное начало).По выше приведённой таблице А = 24 см, т.к. частота данного класса будет максимальной.

С – величина классового интервала, равна 4 см

Расчёт в данном столбце аналогичен расчёту в пункте 1.2.3 таблица 1.6.

В столбцах: 2, 4, 5, 6, 7, 9 находят сумму.

Прежде, чем приступить к вычислению моментов, необходимо произвести проверку вычислений. Сумма чисел 9 столбца должна быть равна выражению:

Например:

7816 = 3868 + (4 × 412) + (6 × 352) + (4 × 22) + 100;

7816 = 3868 +1648 +2112 + 88 + 100;

7816 = 7816; следовательно, суммы вычислены верно.

Далее приступаем к расчёту моментов распределения и основных статистических показателей ряда распределения. Моменты вычисляются с точностью до 0,0001.

1. Находим условные моменты ряда распределения по формулам:

Условный момент первого порядка:

Например:

Условный момент второго порядка:

Например:

Условный момент третьего порядка:

Например:

Условный момент четвёртого порядка:

Например:

2. Находим центральные моменты ряда распределения по формулам:

Центральный момент второго порядка:

Например:

Центральный момент третьего порядка:

Например:

Центральный момент четвёртого порядка:

Например:

3. Производим проверку найденных моментов распределения по

формулам:

Центральный момент третьего порядка:

Например:

Центральный момент четвёртого порядка:

Например:

4. Вычисляем статистические показатели ряда распределения:

- среднюю арифметическую взвешенную величину по формуле:

где А – групповая варианта, которой соответствует наибольшее значение частоты (это условное начало).По выше приведённой таблице А = 24 см..

С – величина классового интервала, равна 4 см

Например: см.

- среднеквадратическое (стандартное) отклонение в единицах классового интервала по формуле:

Например: см

Аналогичные данные были получены в пункте 1.2.3, что ещё раз подтверждает правильность расчётов моментов ряда распределения.

- среднеквадратическое (стандартное) отклонение по формуле:

Например:

5. Определяем численное значение показателя асимметрии по формуле:

Например:

6. Определяем численное значение показателя эксцесса по формуле:

Например:

7. Далее вычисляют ошибку и достоверность показателя асимметрии и эксцесса по следующим формулам.

Ошибка показателя асимметрии:

Например:

Оценка достоверности по t – критерию Стьюдента:

Например:

Для оценки достоверности фактическое значение t – критерия Стьюдента необходимо сравнить со стандартным на 5 % уровне значимости, при числе степеней свободы равным бесконечности k = ∞ (t ₀₅ = 1,960).

По приведённому примеру, сравнив фактическое значение критерия со стандартным, можно сделать вывод о том, что опытное распределение деревьев по ступеням толщины близко к симметричному, так как .

Ошибка показателя эксцесса:

Например:

Оценка достоверности по t – критерию Стьюдента:

Например:

Для оценки достоверности фактическое значение t – критерия Стьюдента необходимо сравнить со стандартным на 5 % уровне значимости, при числе степеней свободы равным бесконечности k = ∞ (t ₀₅ = 1,960).

По приведённому примеру, сравнив фактическое значение критерия со стандартным, можно сделать вывод о том, что опытное распределение деревьев по ступеням толщины близко к симметричному, так как .

Дата добавления: 2015-06-04