Нулевая гипотеза

где К_ф - значение фактически полученного критерия;

К₀₅, К₀₁ - значения критериев на 5% - ном и 1% - ном уровнях значимости.

3.1. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию χ- квадрат Пирсона

Критерий χ- квадрат (χ ²) впервые был предложен К. Пирсоном в 1901 году. Пользуясь этим критерием можно произвести оценку различий между эмпирическим и теоретическим распределением частот. Он рассчитывается по формуле: ,

где n_i – эмпирическая частота; n_i'- теоретическая частота.

Оценка значимости критерия χ ² производится по специальной таблице (приложение 3 учебника Герасимов, Хлюстов), в которой приведены стандартные значения этого критерия (χ ²_st) для трех пороговых уровней доверительной вероятности и для разных чисел степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу классов без трех k=n-3.

Если χ ²_ф< χ ²_st, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением подчиняется тому закону, по которому рассчитаны теоретические частоты.

В таблице 3.1 приводится порядок расчета критерия согласия χ ² - Пирсона.

Таблица 3.1 Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределением деревьев сосны по диаметру на высоте груди

Классы (ступени толщины),см	Частоты	ni- ni^/	(ni – ni ^/)^2
Эмпирические (ni), штук	Теоретические (ni^/), штук
		1,63	0,37	0,14	0,08
		4,80	-0,80	0,64	0,13
		10,55	0,45	0,20	0,02
		17,23	-1,23	1,51	0,09
		21,27	8,73	76,28	3,59
		19,61	-5,61	31,49	1,61
		13,51	-3,51	12,33	0,91
		7,06	0,94	0,89	0,13
		2,73	0,27	0,07	0,03
		0,79	1,21	1,47	1,86
Cумма					8,44

Теоретические частоты берутся неокругленными из таблицы 3.1.

χ ²_ф = 8,44

Число степеней свободы k = 10 – 3 = 7, тогда χ ²_05/01 =14.10/18.50 (на 5 % и 1 % уровне значимости)

Далее сравниваем фактическое значение критерия с теоретическим

χ ²_ф < χ ²₀₅., из чего следует, что Н₀- гипотеза не отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределением частот несущественны.

Статистическое заключение

Т.к χ ²_ф меньше χ ² на 5 % уровне значимости, то можно сделать вывод, что опытное распределение деревьев сосны по диаметру на высоте груди подчиняется предполагаемого теоретического закону распределения, то есть закону нормального распределения и описывается уравнением Лапласа – Гаусса.

3.2. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию λ Колмогорова – Смирнова

При помощи критерия - Колмогорова-Смирнова сопоставляют эмпирические и теоретические частоты рядов распределения, а также дать оценку различий двух эмпирических распределений.

Для сопоставления эмпирического и теоретического распределения частот λ-критерий рассчитывается по формуле:

,

где N -объём эмпирического ряда распределения

d_max – это максимальное отклонение, которое берётся из последней колонки таблицы 4.2.

Для оценки статистической гипотезы о соответствии эмпирических частот теоретическим, расчётное значение критерия - Колмогорова-Смирнова сравнивается со стандартным на 5 % или 1 %-ном уровне значимости, которое не зависит от числа степеней свободы.

₀₅ 1,36 ₀₁ 1,63.

Пример статистической оценки эмпирических и теоретических рядов распределения приведен в таблице 3.2.

Таблица 3.2 Статистическая оценка эмпирических и теоретических рядов

распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова

Классы (ступени толщины), см	Эмпирическая частота ni, шт	Теоретическая частота ni^/, шт					d
					0,02	0,02	0,00
					0,06	0,07	0,01
					0,17	0,17	0,00
					0,33	0,34	0,01
					0,63	0,55	0,08=max
					0,77	0,75	0,02
					0,87	0,89	0,02
					0,95	0,96	0,01
					0,98	0,99	0,01
					1,00	1,00	0,00

d_max = 0,08, тогда

.

Так как λ_ф<λ₀₅, то Н₀-гипотеза не отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределениям частот не существенны.

Статистическое заключение

Т.к _ф меньше на 5 % уровне значимости, то можно сделать вывод, что опытное распределение деревьев сосны по диаметру на высоте груди подчиняется предполагаемого теоретического закону распределения, то есть закону нормального распределения и описывается уравнением Лапласа – Гаусса.

3.3. Статистическое сравнение двух эмпирических рядов распределения по критерию λ Колмогорова – Смирнова

Если два эмпирических распределения имеют различное количество классов и объём совокупности, то согласие между ними устанавливается по критерию , рассчитанному по формуле:

, где ,

где n₁ и n₂ – эмпирические частоты сравниваемых рядов распределения;

N₁ и N₂ - объёмы сравниваемых рядов (выборочных совокупностей).

Для оценки статистической гипотезы о совпадении двух эмпирических радов распределения, расчётное значение критерия - Колмогорова-Смирнова сравнивается со стандартным на 5 % или 1 %-ном уровне значимости, которое не зависит от числа степеней свободы.

₀₅ 1,36 ₀₁ 1,63.

Сравнение частот взвешенных рядов по критерию Колмогорова приведено в таблице 4.3.

Таблица 3.3 Сравнение частот двух взвешенных рядов распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова

Диаметр деревьев	Эмпирическая частота					d
n1,штук	n2, штук
					0,02	0,002	0,018
					0,06	0,019	0,041
					0,17	0,094	0,076
					0,33	0,183	0,147
					0,63	0,223	0,407
					0,77	0,200	0,570
					0,87	0,145	0,725
					0,95	0,086	0,864
					0,98	0,039	0,941
					1,00	0,009	0,991=max

d_max = 0,991, тогда

.

Так как λ_ф>λ₀₅, а так же λ_ф>λ₀₁ то Н₀-гипотеза отвергается, различия между сравниваемыми эмпирическими рядами распределениям частот существенны.

Статистическое заключение

При сравнительной оценке двух эмпирических рядов распределения деревьев сосны по диаметру на высоте груди, можно сделать вывод, что между ними имеются существенные различия, так как фактическое значение критерия λ_ф – Колмогорова – Смирнова больше теоретического на всех уровнях значимости.

Дата добавления: 2015-06-04