Прогнозирование возникновения одновременных пожаров

Одним из важнейших параметров оперативной обстановки в городе (на объекте), с точки зрения его противопожарной защиты, а также обеспечения устойчивого оперативного управления силами и средствами, является число одновременных вызовов пожарных подразделений и число одновременных пожаров, которые могут возникнуть в городе (здесь полезно различать вызовы и пожары, так как далеко не всякий вызов означает возникновение пожара). Объясняется это тем, что обслуживание нескольких вызовов одновременно (тушение сразу нескольких пожаров) требует использования в один и тот же отрезок времени большого количества сил и средств пожаротушения, а также создания внештатных органов управления на пожаре.

Гарнизон пожарной охраны города должен располагать соответствующим количеством личного состава и пожарной техники, а также иметь в своем распоряжении достаточное количество огнетушащих веществ для нужд пожаротушения. При этом число одновременных вызовов имеет большое значение для определения необходимой численности личного состава и пожарной техники, а число одновременных пожаров играет важную роль при обосновании параметров противопожарного водоснабжения и создания дежурных служб пожаротушения. Короче говоря, пожарная охрана города должна быть заранее готова к таким критическим ситуациям в своей оперативной деятельности и располагать соответствующими ресурсами сил и средств пожаротушения. Поэтому вопрос научного прогнозирования возможного числа одновременных пожаров, могущих возникнуть в городе (одновременных вызовов), имеет большое практическое и экономическое значение.

Очевидна тесная связь числа одновременных пожаров с задачами противопожарного водоснабжения. Предположим, что в данном городе может быть m одновременных пожаров, продолжительность боевой работы на которых равна t_б, причем для тушения каждого пожара требуется подавать в среднем q литров воды в единицу времени. Тогда система противопожарного водоснабжения города должна обеспечить расход воды mq (л/ед. времени) в течение времени t_б. Следовательно, система противопожарного водоснабжения должна быть спроектирована таким образом, чтобы фактические запасы воды W_ф были не меньше требуемых W_тр = mqτ_б, т.е.
W_ф ³ W_тр. Естественно, величина W_тр должна быть тщательно обоснована. Для обоснования величины W_тр = mqτ_б необходимо научно обосновать значения параметров m – числа одновременных пожаров, q – расхода воды на тушение одного пожара и t_б - продолжительности боевой работы на m пожарах.

Заметим, что с помощью параметров m и q можно ориентировочно определить число n_а основных пожарных автомобилей в боевом расчете гарнизона пожарной охраны города. Если известно, что одно оперативное отделение может обеспечить подачу воды для тушения пожара в количестве q_от, то число основных пожарных автомобилей можно найти по формуле n_а = mq/q_от (по некоторым оценкам значение q_от колеблется от 14 до 28 л/с).

До недавнего времени задача прогнозирования возникновения одновременных пожаров не имела достаточно строгого научного решения. Имелись отдельные попытки оценить значение параметра m, вообще не рассматривалась задача оценки значения параметра t_б, почти не предпринимались попытки оценить значение q. Более того, сама постановка задачи вызывала серьезные возражения (эта попытка была выполнена акад., докт. техн. наук, проф. Н.Н. Брушлинским).

Под одновременными пожарами до последнего времени специалисты понимали пожары, которые возникали в населенном месте в течение трех смежных часов, исходя из того, что расчетная продолжительность ликвидации пожара составляет 3 ч. Таким образом, считалось, что все пожары, которые возникают в городе в течение трех смежных часов независимо от их характера и продолжительности, являются одновременными. В связи с таким подходом во многих случаях к одновременным пожарам приходится относить пожары, которые в действительности таковыми не являются, поскольку возникают они и ликвидируются в непересекающиеся промежутки времени. Естественно, что решение задачи, связанное только с оценкой значения параметра m в рамках такой постановки, сводится к подсчету числа моментов возникновения пожаров за три смежных часа в течение продолжительного отрезка времени. Именно таким образом решали задачу Н.А. Тарасов-Агалаков, собравший и обработавший обширный статистический материал более чем по 200 городам СССР за 1942 – 1948 гг., и
Н.П. Андреенко, обработавший в 1963 г. по той же методике данные по трем городам Пензе, Куйбышеву и Свердловску за 1959 – 1962 гг.

Основным недостатком в указанной постановке задачи об одновременных пожарах и подходе к ее решению является неудачная трактовка одновременности, обусловленная расчетной продолжительностью тушения одного пожара. Другим недостатком является отсутствие попыток оценить частоту и продолжительность случаев одновременного тушения определенного числа пожаров в том или ином городе. Наконец, целесообразно рассматривать и прогнозировать не только одновременные пожары, но и одновременные выезды пожарных подразделений, так как пожарную технику, занятую в один и тот же момент времени обслуживанием ранее поступивших вызовов, не удается немедленно использовать для обслуживания очередного вызова.

В связи с этим настоящий раздел посвящен детальному рассмотрению и решению на основе математического моделирования задачи о прогнозировании возникновения одновременных пожаров в городе. При этом под одновременными пожарами (одновременными выездами пожарных подразделений) понимаются пожары, тушение которых происходит в один и тот же промежуток времени. Очевидно, задача эта тоже имеет ярко выраженную вероятностную природу и решение ее должно существенным образом зависеть от ранее изученных параметров оперативной обстановки λ (плотность потока вызовов) и t_ср (средняя продолжительность занятости пожарных подразделений). В самом деле, чем больше значения λ и t_ср (чем чаще поступают вызовы и чем больше времени занимает обслуживание каждого из них), тем вероятнее обслуживание нескольких вызовов одновременно.

Чтобы рассмотреть задачу об одновременных вызовах и пожарах с вероятностной точки зрения, приведем вначале содержательное, а затем формализованное описание исследуемого процесса, допускающее его математическое моделирование. Рассмотрим процесс функционирования пожарной службы города, гарнизон пожарной охраны которого состоит из нескольких пожарных частей. На пункты связи города в случайные моменты времени поступают сообщения о пожарах, авариях и т.п., образующие поток вызовов. Диспетчер высылает на обслуживание поступивших вызовов соответствующие подразделения пожарной охраны. Каждый вызов обслуживается некоторое случайное по продолжительности время, по истечении которого пожарные подразделения возвращаются в свои депо и снова встают в боевой расчет. При этом в одних случаях вызов бывает единственным в данном промежутке времени, в других – могут прийти один за другим сразу несколько вызовов, и тогда в один и тот же момент времени пожарные подразделения города одновременно будут обслуживать несколько вызовов (рис. 2.3). На рисунке схематично изображены различные состояния пожарной службы города, представляющие собой реализацию случайного процесса, идущего в этой сложной системе, на отрезке времени [0, t] (дугами обозначается продолжительность каждого выезда). Из рисунка следует, что суммарное время T₀, в течение которого в городе не было вызовов пожарных подразделений на рассматриваемом промежутке времени, равно T₀ = t ₀ + (t ₃ - t ₂) + (t ₇ - t ₆). Суммарное время T₁, когда в городе обслуживался один вызов, составляет T₁ = (t ₂ - t ₁) + (t ₄ - t ₃) + (t ₆ - t ₅). Наконец, в течение времени T₂ = t ₅ - t ₄ одновременно обслуживались два вызова. Очевидно, T = T₀ + T₁ + T₂. Нетрудно вычислить среднее относительное время пребывания пожарной службы города в том или ином состоянии t₀ = T₀/T; t₁ = T₁/T; t₂ = T₂/T. Значения t₀, t₁ и t₂ при достаточно больших значениях T можно считать приближенными значениями вероятностей пребывания данной системы в том или ином состоянии (т.е. в состоянии обслуживания заданного числа вызовов). Заметим, что если какое-нибудь из значений t_i (i = 0, 1, 2,…) достаточно мало (практически равно нулю), то это означает, что пожарная служба никогда не будет находиться в соответствующем состоянии и его в дальнейшем можно не принимать во внимание.

Рис. 2.3. Графическое изображение процесса функционирования

пожарной службы

Приведенная схема позволяет решить задачу об одновременных вызовах и пожарах для любого города. Решение задачи можно получить либо путем непосредственной статистической обработки данных о выездах пожарных подразделений в каждом конкретном городе, либо с помощью математической модели, опирающейся на общие закономерности, характеризующие потоки вызовов и время их обслуживания во всех городах.

Статистическое решение задачи об одновременных вызовах даёт ценную информацию о характере оперативной обстановки в данном городе, но не позволяет обобщать полученные результаты на другие города и даже экстраполировать их на будущее для исследуемого города (не говоря уж о трудоемкости такого решения).

Описанный подход к задаче об одновременных вызовах и пожарах дал возможность увидеть ее вероятностный характер и описать процесс функционирования пожарной службы города, что позволило построить аналитическую модель этого процесса и позволило создать предпосылки для разработки научно обоснованных прогнозов о возникновении одновременных пожаров в городах (на объектах).

Вероятностный характер задачи об одновременных вызовах на пожарах проявляется в том, что вызовы поступают в случайные моменты времени, а время обслуживания одного вызова тоже является случайной величиной. Таким образом, оперативная деятельность, заключающаяся в обслуживании приходящих вызовов (тушения пожаров, ликвидация аварий и т.п.), представляет собой случайный процесс, который формализуется следующим образом.

Исследуемая сложная динамическая система (пожарная служба города) в любой момент времени t может с той или иной вероятностью находиться в каком-либо одном (и только в одном) из следующих состояний:

Е₀ - в системе нет ни одного вызова пожарных подразделений;

Е₁ - в системе обслуживается один вызов;

Е₂ - в системе обслуживаются два вызова одновременно;

Е_k -в системе одновременно обслуживаются k-вызовов.

С теоретической точки зрения целесообразно считать множество состояний изучаемой системы бесконечным счетным множеством, т.е. допускать, что в какой-то момент может одновременно находиться на обслуживании неограниченно большое число вызовов (чего, разумеется, на практике никогда не бывает). Заметим, что переход системы из состояния в состояние осуществляется скачкообразно и возможен в любой момент времени. Случайный процесс, идущий в таких системах, называют дискретным случайным процессом с непрерывным временем.

Итак, в любой момент времени t пожарная служба города может находиться в одном из состояний Е_k = 0, 1, 2,... с некоторой вероятностью Р(t). Множество вероятностей Р_k(t) дает достаточно полное представление о протекающем в системе случайном процессе. Тогда, зная распределение вероятностей Р_k (k = 0, 1,...) пребывания пожарной службы города в состоянии одновременного обслуживания k вызовов в любой момент времени t, можно вычислить время, в течение которого пожарная служба города обслуживает то или иное число одновременных вызовов за любой промежуток времени, а также дать оценку частоте случаев одновременного обслуживания того или иного числа вызовов.

При расчёте вероятностей Р_k(t) предполагалось, что поток вызовов пожарных подразделений в городе пуассоновский с параметром λ, а время занятости подразделений на одном вызове - показательное с параметром μ (если в тушении пожара участвует несколько оперативных отделений и освобождаются они в разное время, то время занятости подразделений оценивается по последнему освободившемуся подразделению; в этом обнаруживается некоторая слабость предлагаемой формализации изучаемого процесса, которую можно устранить при имитационном моделировании). Если принять гипотезу о показательном законе распределения времени занятости подразделений на одном вызове, тогда теорема умножения вероятностей показывает, что распределение времени занятости нескольких пожарных подразделений одновременно на разных выездах тоже подчиняется показательному закону. При этом, если параметр исходного показательного закона равен μ =1/ t_ср, то параметр показательного закона при одновременном обслуживании k вызовов без учета входящего потока вызовов μ_k = kμ (эта величина является параметром своеобразного "потока освобождений" занятых боевой работой пожарных подразделений).

Итак, с учетом данного формализованного описания исследуемого процесса оперативной деятельности пожарной охраны города, пуассоновского характера потока вызовов пожарных подразделений и показательного распределения времени их занятости построена математическая модель данного случайного процесса. Результаты исследования потоков вызовов и времени их обслуживания позволили отнести процесс функционирования пожарной службы города к классу так называемых марковских эргодических случайных процессов с непрерывным временем.

Такие процессы удобно анализировать с помощью графа (схемы) возможных состояний процесса с указанием возможных переходов из состояния в состояние, которые изображаются стрелками. У каждой стрелки проставляется интенсивность соответствующего потока событий, переводящих исследуемую систему из состояния в состояние.

На рис. 2.4 изображен размеченный граф состояний процесса функционирования оперативной службы, который позволяет построить математическую модель этого процесса и решить задачу о прогнозировании возникновения одновременных пожаров.

Рис. 2.4. Размеченный граф состояния оперативной службы

Процессы такого типа описываются системами обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются интересующие нас вероятности P_k(t) (k = 0, 1, 2, …) состояний исследуемой системы. Заметим, что для любого момента времени t должно выполняться условие P_k(t) = 1.

Составим дифференциальное уравнение для отыскания неизвестной функции P₀(t) вероятности того, что в городе в течение времени t нет ни одного вызова пожарных подразделений, и найдем, прежде всего, вероятность P₀(t+Dt). Случайное событие, заключающееся в том, что в момент t+Dt в городе нет вызовов, может осуществиться двумя способами:

1) в момент t вызовов не было (вероятность этого события равна P₀(t)) и за промежуток времени Dt ни один вызов не поступил. На основании закона Пуассона имеем Р₀ = е^-lDt » 1 - lDt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно Dt);

2) в момент t в городе обслуживался один вызов (вероятность этого события равна P₁(t)), но за промежуток времени t обслуживание было закончено. В соответствии с показательным законом распределения времени занятости имеем Р{t_зан < Dt} = 1 - е^-mDt » mDt.

Используя известные математические методы, получаем формулу для любого количества вызовов

Р_k = (a^k / k!)е^-a (k = 0, 1, 2, …), (2.23)

где a = l / m = lt_ср.

Полученное распределение вероятностей представляет собой распределение Пуассона. Таким образом, было показано, что искомые вероятности того, что в городе в любой момент времени одновременно обслуживаются несколько вызовов, могут быть вычислены по закону Пуассона с параметром α = λt_ср, который называют приведенной плотностью потока вызовов. Приведенная плотность потока вызовов представляет собой среднее число вызовов за среднее время обслуживания одного вызова пожарными подразделениями. Следовательно, найденное аналитическое решение задачи об одновременных вызовах пожарных подразделений в городах учитывает как плотность потока вызовов λ, так и среднюю продолжительность их обслуживания t_ср.

Можно доказать, что найденные вероятности P_k состояний пожарной службы города можно интерпретировать как средние относительные времена пребывания пожарной службы города в том или ином состоянии
Е_k(k = 0, 1, 2,...), т.е.

Р_k = Т_k / Т. (2.24)

Это позволяет осуществить непосредственную проверку адекватности построенной математической модели реальному процессу функционирования пожарной службы города. Сущность проверки заключается в следующем: используя формулу (2.24), определяем значения суммарного времени Т_k, в течение которого в данном городе, характеризуемом значениями параметров λ и t_ср, одновременно обслуживалось k вызовов пожарными подразделениями за любой промежуток времени Т:

Т_k = T_pk = T[(lt_ср)^k / k!]е^-ltср (k = 0, 1, 2, …). (2.25)

Найденные таким образом теоретические значения Т_k можно сравнить с соответствующими значениями той же величины, полученными статистическим путем. Именно в сопоставлении теоретического и эмпирического распределения времени одновременного обслуживания того или иного числа вызовов и заключается сущность предлагаемой проверки адекватности математической модели реальному процессу оперативной обстановки.

При использовании теоремы умножения вероятностей находим закон распределения продолжительности t_k одновременного обслуживания вызовов

Р{t_k > t} = e^{-[l + (k/tср)]t} (k = 0, 1, 2, …). (2.26)

Так как имеет место показательный закон распределения, то легко определить среднюю продолжительность одновременного обслуживания k вызовов пожарными подразделениями

t_ср.k = 1 / [l + (k / t_ср)]. (2.27)

Отсюда частота (среднее число) N_k случаев одновременного обслуживания k вызовов в течение времени T может быть определено по формуле

N_k = P_k / t_ср.k = T_pk / t_ср.k, (2.28)

где P_k определяется по формуле (2.23), а t_ср.k – по формуле (2.27).

В таком случае окончательно будем иметь

N_k = {[T(lt_ср)^k(lt_ср+k)] / k! t_ср} e^-ltср. (2.29)

Следовательно, зная значения λ и t_ср за некоторый промежуток времени Т, можно найти распределение вероятностей P_k по формуле (2.23), значения Т_к — по формуле (2.25), t_ср.k — по формуле (2.27) и N_k ¾ по формуле (2.29), что позволяет оценивать частоту и продолжительность случаев одновременного обслуживания того или иного числа вызовов в течение определенного промежутка времени, хотя не все эти случаи одинаково влияют на степень напряженности оперативной обстановки в городе.

В связи с этим представляет особый интерес выделение из общего числа N_k случаев одновременного обслуживания k вызовов именно тех случаев, которые способствуют усилению напряженности оперативной обстановки в городе. Обозначим число случаев нахождения пожарной службы города в сложных ситуациях и сведём их к четырем типам состояния E_k, соответственно через N¹_k, N²_k, N³_k, N⁴_k.

N¹_k: начинается вызовом и заканчивается следующим вызовом;

N²_k: начинается вызовом, но заканчивается освобождением, т.е. окончанием его обслуживания;

N³_k: начинается освобождением от вызова, а заканчивается новым вызовом;

N⁴_k: начинается освобождением и заканчивается освобождением.

Очевидно,

N_k = N¹_k + N²_k + N³_k + N⁴_k, (2.30)

причем, как показано выше,

N_k = Т_k / t_ср.k = (l + km)Т_рk. (2.31)

Итак, подробное рассмотрение вопроса прогнозирования одновременных вызовов пожарных подразделений и возникновения одновременных пожаров в городах можно считать законченным. Правда, до сих пор в основном рассматривались одновременные вызовы, но совершенно очевидно, что задача об одновременных пожарах является частным случаем более общей задачи об одновременных вызовах. В самом деле, достаточно рассмотреть вместо общего потока вызовов только ту его составляющую, которая связана с выездами на тушение пожаров, как получается решение задачи об одновременных пожарах. Теперь можно для любого города, оперативная обстановка в котором характеризуется параметрами λ (среднее число вызовов или пожаров в единицу времени) и `t_ср (средняя продолжительность обслуживания одного вызова или боевой работы на пожаре), определить вероятность возникновения того или иного числа m одновременных пожаров (вызовов) в любой момент времени, а также оценить частоту N_m и продолжительность t_б таких случаев за любой промежуток времени Т. Поэтому можно сделать вывод о том, что задача об одновременных пожарах получила научно обоснованное решение, которое (как показала проверка) вполне пригодно для практического использования.

Следовательно, имеются достаточно надежные предпосылки для прогнозирования возникновения одновременных пожаров в городах, которые можно использовать для создания расчетных (нормативных) данных о возможном числе одновременных пожаров в том или ином городе.

Покажем, как можно реализовать эти возможности на одном условном примере. Рассмотрим некоторый город с населением 250–300 тыс. человек В настоящее время в таких городах в среднем бывает около 1000 выездов пожарных подразделений в год.

Следовательно, в качестве исходного значения плотности потока λ можно принять 0,11 выз./ч. Значение среднего времени занятости t_ср примем равным 1,5 ч. В качестве расчетной продолжительности времени наблюдения примем 1 год, т.е. Т = 8760 ч. Тогда, применяя формулу (2.25), находим значения Т_k (k = 2, 3,...) (табл. 2.4).

Таблица 2.4

k
Tk	112,5	7,1	0,4

Из приведенных данных следует, что в городе максимальное практически возможное число одновременных вызовов равно 4. Найдем среднюю продолжительность t_срk (k = 2, 3, 4) всех случаев одновременных выездов пожарных подразделений. Используя формулу (2.27), получаем:

t_ср2 = 0,7 ч; t_ср3 = 0,5 ч; t_ср4 = 0,4 ч.

В таком случае, с учетом соотношения (2.28), найдем среднее число N_k случаев одновременных выездов пожарных подразделений в данном городе в течение года (табл. 2.5):

Таблица 2.5

k
Nk

Если предположить, что через несколько лет в городе будет происходить уже примерно 1400 выездов пожарных подразделений в год, то, произведя аналогичные вычисления, получим следующие результаты (табл. 2.6):

Таблица 2.6

Параметр
Tk		17, 5	1,2	0,1
tсрk	0, 67	0, 46	0, 35	0, 29	0, 24
Nk				0,3

Следовательно, в городе можно ожидать в среднем уже не один, а три-четыре случая одновременной боевой работы пожарных подразделений на четырех разных вызовах (пожарах) в течение года. При этом средняя продолжительность каждого такого случая будет составлять около 20 мин. Примерно один раз в три года может возникнуть такая ситуация, когда одновременно придется обслуживать пять вызовов, но тоже в течение 15-
20 мин. Все эти данные хорошо согласуются с реальным положением дел.

Таким образом, рассмотренные выше расчёты одновременных пожаров в городах, позволяют предложить варианты создания органов управления силами и средствами на пожаре.

Дата добавления: 2015-07-02