Устойчивость линейных систем

Статические системы

Свойство обратной связи

Есть объект управления

Обратная связь – эффективное средство.

а)

х_вх х_вых=kx_вх

k = 100

k_p = 50

Усилитель: k=10000

желание х_вых

х_ос

блок

принятия промежуточное устройство

решения

β – усилитель с коэффициентом усиления β < 1

- обратная связь

R₁

х_вх R₂

x_вых

откуда

1). Выбираем β = 0,01

k = 10000

Лучше эта конструкция, чем а).

2). Если k = 5000

Свойство – стабилизирующее. Не зависит от k. Обратная связь обладает стабилизирующими свойствами. Если , то .

(описываются не ДУ, а алгебраическими уравнениями)

Свойства ОС применительно к динамическим системам.

s – комплексная переменная

u(s) (s) x(s)

w(s)

Обратная связь изменяет ДУ системы.

Если

1. Разомкнутый объект

u x

2. Замкнутая система

u x

Лекция 4

Если система описывает(1), то саму экономическую систему будут называть линейной.

Система, описывающаяся линейным ДУ первого порядка.

dx/dt+x=0

Если нач. условия различны

x(o)=x₀

ce^-t|_t=0=x₀

c= x₀

x(t)=x₀e^-t

x

x₀

x₀

t

dx/dt-x=0

x(t)=ce^λt

x ^_t=cλe^λt

cλe^λt-cλ^λt=0

c(λ-1)e^λt=0

λ=1

x(t)=c*e^t

Различные начальные условия

x(0)=x₀

ce^t|_t=t0=x₀

c=x₀

x(t)=x₀*e^t

x₀=0=>x(t)=0

x₀=10^-12=>x(t)=10^-12*e^t,

самопроизводный разгон объекта – неустойчивость

Начинаем управлять объектами => неоднородность появляется

1) dx/dt+x=U

U(t)=1(t)

вместо 1→U нас интересует t≥0

t=0

x(0)=x₀

x_одн(t)=ce^-t

U

t=0

x^*(t)=At+B

(x^*) ^_t=A

A+At+B=U

A=0

A+B=U

B=U

x^*(t)=U

x(t)=c*e^-t+U

Поведение системы в зависимости от X₀

x(0)=x₀

ce^-t+U| _t=0=x₀

c+U=x₀

c=(x₀-U)

x(t)=(x₀-U)e^-t+U=U(1-e^-t)+x₀e^-t

При t→∞, e^-t→0

Вывод: в зависимости от того, какое U всегда стремление к U

U - управляющее воздействие, которое позволяет вывести объект в нужное состояние

2)

dx/dt-x=U

x_одн(t)=ce^t

x^*(t)=At+B

x^*(t)  = A

A-At-B=U

A=0 B= -U

A-B=U

x(t)=c*e^t-U

x(0)=x₀

ce_t-U | _t=0 =x₀

c-U= x₀

c=U+ x₀

x(t)=(U+ x₀)e^t-U=U(e^t-1)+ x₀e^t

Каковы бы ни были начальные условия, процесс убегает в бесконечность. Не зависимо от нашего воздействия.

Если ДУ не очень хорошее, то с этим объектом возникают проблемы.

Без управленческого воздействия все зависит от вида ДУ.

Нужно поменять описание объекта.

Дата добавления: 2015-06-27