Устойчивость систем высокого порядка

a_n*dⁿx/dtⁿ+…+a₁*dx/dt+a₀x=f(t) формируется с помощью U(t)

x_неод(t)=x_одн(t)+x^*(t)

a_n*dⁿx/dtⁿ+…+a₁*dx/dt+a₀x=0 – ОДУ

x_одн(t)=ce^λt

x _одн(t)=cλe^λt

x  _одн(t)=сλ²e^λt

xⁿ_одн(t)= сλⁿe^λt

ce^λе(a_nλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀)=0

a_nλⁿ +a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀=0

λ₁, λ₂,…,λ_n – корни, обязательно действительные числа

все λ_i – действительны!!!

x_одн=c₁e^λ1t +c₂e^λ2t+…+c_ne^λnt

1) Если хотя бы одно из λ_i >0 – система неустойчива

Устойчивость системы описывается с помощью корней характеристического уравнения.

2) Если есть 2 комплексных корня:

£+iβ

£-iβ

x₁(t)=c₁e^£tsinβt

x₂(t)= c₂e^£tcosβt

Reλ_i<0 для всех i

Обратная связь меняет ДУ– это эффективный способ изменить корни ДУ.

u*e^t

Неравная зависимость решений от начальных условий.

Если для каждого Е>0 можно найти такое δ

׀x₀`- x<sub>0</sub>׀< δ→ ׀x`(t) →x(t)׀<E

W(s) = k/ (s+1)³

s₁=-1

s₂=-1

s₃=-1

W₃=(k/(s+1)³) / (1+k/(s+1)³) = k/((s+1)³ +k)

(s+1)³+k=0

k=27

(s+1)³+27=0

s+1=z

z³+27=0 z₁=-3

Лекция 5

Методы вариационного исчисления.

Функционал – y(f(x)) – называется соответствие функций f(x) и числа у

Отображение функции f(x) в число у

Функционал определен в линейных/метрических пространствах с целью изучения физических свойств.

y(f(x)) определяется на множестве функций Н, удовлетворяющему условиям:

1) c₁f₁(x)+c₂f₂(x)єH если f₁(x), f₂(x)єH

2) Между функциями f1(x) и f2(x) определено расстояние.

f₁(x)

f₂(x)

׀f₁(x)-f₂(x)׀ мал, то f₁(x) и f₂(x) близки – это близость нулевого «0» порядка.

_b

y= _a∫f(x)dx

_b

y₁= _a∫f₁(x)dx

_b

y₂= _a∫f₂(x)dx

_b

y₁-y₂=_a∫[f₁(x) – f₂(x)]dx

мало

_b

_a∫[f `(x) – f(x)]dx

f₂ f₁

близки, но производная у одной мала, у другой велика.

׀f `<sub>1</sub>(x) – f `₂(x)׀ – малая величина

близость первого порядка

_b

y=_a∫F(x,y(x),y`(x),y``(x),…,y^(n-1)(x))dx

Дифф. исчисл.	Вариац исчисл.
1 – аргумент веществ переменная х 2 – значение функции-число 3 – имеется понятие lim неопред ф-ии 4 – есть понятие fx` 5 – приращение аргумента Δx – число   6 – есть понятие дифференциала dy(x) 7 – есть необходимое условие экстремума dy(x)=0	аргумент – функция вещ перем f(x) значения функционала - числа имеется понятие lim неопред функционала производная от функционала отсутствует приращение аргумента η(x)- функция (вариация аргумента) понятие диффер- вариация функционала δy есть необходимое условие экстремума δy=0

y(x) – дифференцируема в (.)x₀, если Δy=AΔx+O(Δx) Δy имеет больший порядок малости, чем Δx

dy=AΔx – линейная часть приращения функции.

x₀

lim O(Δx)/Δx=0

^Δx→0

Δy/Δx=AΔx/Δx + O(Δx)/Δx

f ` =A

Дифференциал – линейная часть приращения

Линейный функционал

Y_л(λ₁f₁(x) + λ₁f₂(xx))= λ₁Y_л(f₁(x)) + λ₂Y_л(f₂(x))

Дата добавления: 2015-06-27