Сверхтекучесть

Квантовая жидкость со спектром вышеуказанного типа должна обладать свойством сверхтекучести.

Начнем рассмотрение при .

При этой температуре жидкость находится в своем нормальном, невозбужденном состоянии.

Пусть жидкость протекает по капилляру с постоянной скоростью . Наличие вязкости приводило бы к тому, что постепенно жидкость замедлила скорость и, в конечном счете, прекратилось движение.

Нам будет удобно рассматривать течение в системе координат, движущейся вместе с жидкостью. В этой системе гелий покоится, а стенки капилляра движутся со скоростью (). При наличии вязкости покоящийся гелий тоже должен бы начать двигаться. Физически очевидно, что увлечение жидкости стенками трубки не может привести с самого начала к движению жидкости как целого. Появление движения должно начаться с постепенного возбуждения внутренних движений, т.е. с появления в жидкости элементарных возбуждений.

Предположим, что в жидкости появляется одно элементарное возбуждение с импульсом и энергией . Тогда энергия жидкости (в системе, где она первоначально покоилась) сделается равной энергии этого возбуждения, а её импульс – импульсу . Перейдем теперь обратно к системе координат, в которой покоится капилляр. Согласно формулам механики имеем

Где – масса жидкости. Подставляя , вместо , получим

Член представляет собой первоначальную кинетическую энергию движущейся жидкости. Выражение () есть изменение энергии благодаря появлению возбуждения. Это изменение должно быть отрицательно, т.к. энергия движущейся жидкости должна уменьшаться

При заданном значении , левая часть имеет минимальное значение при антипараллельных , поэтому должно быть (это условие появления элементарных возбуждений)

Тогда при получаем, что элементарных возбуждений нет, т.е. наблюдаем сверхтекучесть.

Таким образом, к сверхтекучести приведет всякий спектр, в котором достаточно малые возбуждения являются фононами.

Рассмотрим теперь ту же жидкость при (вблизи нуля). В этом случае жидкость не находится в основном состоянии – она содержит возбуждения. Приведенные выше соображения остаются в силе (нигде не было непосредственно использовано обстоятельство, что жидкость находилась первоначально в основном состоянии). Движение жидкости со скоростью не может привести к появлению в ней новых элементарных возбуждений. Однако, что будет с уже существующими возбуждениями?

Для этого проведем следующие вычисления. Представим себе, что «газ квазичастиц» движется как целое относительно жидкости поступательно (сквозь жидкость) со скоростью . Функция распределения для движущегося как целое газа, получается из функции распределения «неподвижного» газа путем замены энергии частицы величиной , где – импульс частицы. Поэтому полный импульс газа (отнесенный к единице объема) будет

Предположим, что скорость мала и разложим подынтегральное выражение по степеням . Член нулевого порядка исчезает при интегрировании по направлениям вектора , и остается

Проводя интегрирование по направлениям вектора , получим

Для фононов и выполняя интегрирование по частям, получим

Учтем, что

Представляет собой энергию единицы объема фононного газа, так что

Прежде всего мы видим, что движение «газа квазичастиц» сопровождается переносом некоторой массы: эффективная масса единицы объема газа – коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью . С другой стороны, при течении жидкости по капилляру ничто не мешает «частицам» этого газа сталкиваться со стенками трубки и обмениваться с ними импульсом.

В результате «газ возбуждений» (существующий при ) будет остановлен, как это произошло бы со всяким обычным газом, протекающим по капилляру.

Таким образом, приходим к выводу: при часть массы жидкости будет вести себя как всякая нормальная жидкость, «цепляющаяся» при движении о стенки сосуда; остальная часть массы будет вести себя как не обладающая вязкостью сверхтекучая жидкость. При этом, между этими движущимися друг через друга частями массы жидкости «нет трения», т.е. не происходит передачи импульса от одной из них к другой.

ТЕМА №5

В квантовой жидкости могут существовать одновременно два движения, каждое из которых связано со своей «эффективной массой» ().

Одно из этих движений «нормально», т.е. обладает теми же свойствами, что и движение обычной вязкой жидкости; другое – сверхтекучее. Оба эти движения происходят без передачи импульса от одного к другому. Особо подчеркнем, что здесь нет никакого разделения реальных частиц жидкости на нормальные и сверхтекучие.

Формулой

определяется нормальная часть массы жидкости при достаточно низких температурах (все элементарные возбуждения фонона) Тогда, учитывая, что

(было получено ранее для фононов в кристалле)

Найдем для нормальной части плотности жидкости:

Это фононный вклад нормальной части плотности

Для вычисления ротонной части заметим

(следствие распределения Больцмана), что даст

Поскольку , то с достаточной степенью точности полагаем, что , таким образом

Ротонная часть сравнивается с фононной при , а при больших температурах становится преобладающей.

По мере повышения температуры всё большая часть массы жидкости становится нормальной. В точке, в которой нормальной становится вся масса, сверхтекучесть исчезает. Это так называемая – точка фазового перехода 2 рода.

Участок кривой вблизи – точки не может быть вычислен точно. Но ввиду быстрого возрастания (экспоненциального) , можно ожидать, что температуру – точки можно получить используя последнюю формулу и полагая . Такое вычисление дает . Экспериментальное значение .

Фазовый переход второго рода всегда связан с появлением или исчезновением какого-либо качественного свойства. Для жидкого гелия с макроскопической точки зрения – это образование сверхтекучей компоненты. С микроскопической точки зрения речь идет об определенных свойствах матрицы плотности. Рассмотрим каких. Эта матрица определяется как интеграл

Здесь волновая функция тела; – радиус-вектор одной частицы; – совокупность координат всех остальных частиц, по координатам которых проводится усреднение.

Для изотропного тела (жидкость)

Для обычных жидкостей

Для сверхтекучей жидкости

Рассмотрим к чему это приведет.

Вычислим Фурье – компоненты

Это выражение задает распределение вероятностей различных значений импульса частицы.

Для обычной жидкости при (интеграл сходится) вероятность при остается конечной (с нулевым импульсом очень мало частиц)

Для сверхтекучей жидкости , при и при интеграл равен . Это означает, что конечное число частиц обладает нулевым импульсом.

Таким образом, данное свойство матрицы плотности означает, что в сверхтекучей жидкости число частиц обладает нулевым импульсом (совокупность этих частиц нельзя отождествить со сверхтекучей частью жидкости)

В частности, при вся жидкость сверхтекуча, но не все частицы имеют нулевой импульс.

Дата добавления: 2014-01-03