Квантовая жидкость. Спектр фермиеевского типа

Если спин целый, то жидкость имеет спектр бозеевского типа. Для частиц с полуцелым спином может существовать спектр другого типа (фермиевского). Такой спектр зависит и от конкретного характера взаимодействия между атомами (пример – ассоциация в бозе пары).

Будем строить спектр жидкости по аналогии со спектром идеального Ферми-газа. Основное состояние последнего соответствует случаю когда все квантовые состояния отдельных частиц с импульсами от нуля до – заняты. Возбужденные состояния газа возникают, когда частицы переходят из состояния заполненной зоны в какое-либо состояние с .

В жидкости не существует квантовых состояний для отдельных частиц.

Исходный пункт – классификация уровней энергии остается неизменной при переходе от газа к жидкости. Роль частиц газа переходит к элементарным возбуждениям, число которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются статистике Ферми.

Каждая из этих квазичастиц обладает определенным импульсом. Пусть есть функция распределения квазичастиц по импульсам. Делается предположение, что однозначно определяет энергию жидкости, и что основное состояние соответствует функции распределения, имеющей вид ступеньки:

в трехмерном случае сфера Ферми.

Величина связана с плотностью жидкости такой же формулоой, как и в газе

Очень важно подчеркнуть, что полная энергия жидкости не сводится к сумме энергий квазичастиц, т.е. это не есть (как это было бы в газе).

Основным (первичным) понятием является энергия жидкости. Тогда как должна быть определена энергия квазичастицы .

Изменение энергии при бесконечно малом изменении функции распределения можно записать в виде

Величина есть вариационная производная от энергии по функции распределения. Она соответствует изменению энергии системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом .

В свою очередь определяется распределением всех квазичастиц в жидкости, т.е. является функционалом .

Т.е. имеется некоторая аналогия с самосогласованным полем. Но разница более глубокая: в гамильтониане учитывается влияние остальных частиц не только на потенциальную энергию, но меняется также зависимость оператора кинетической энергии от оператора импульса.

Легко видеть, что функция распределения имеет вид обычного распределения Ферми

Напомним, что есть функционал. Поэтому, данная функция, вообще говоря, представляет собой неявное определение .

До сих пор не учитывался спин. Учтем!

Но от спина не зависит. Это означает, что все уровни энергии вырождены. Для спина вырождение равно 2. Так далее и будем считать. Таким образом, наличие спина учитывается кратностью вырождения уровней

Вернёмся к определению импульса квазичастицы. Каждой квазичастице можно приписать определённый импульс только в том случае, если неопределённость импульса (связанная с конечностью длины пробега квазичастицы) была много меньше велеиины самого импульса. Кроме того неопределённость должна быть много меньше – ширины «области размытости» распределения . Это выполняется только в том случае, если отличается от «ступеньки» только достаточно малыми отклонениями вблизи граничного импульса , т.е. вблизи поверхности сферы Ферми.

При этом, в силу принципа Паули, взаимно рассеиваться могут лишь квазичастицы в «области размытости» распределения.

В результате рассеяния квазичастицы переходят в свободные состояния в той области.

Таким образом, рассмотренный метод справедлив только для таких возбужденных состояний жидкости, которые описываются функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «ступеньки» лишь в небольшой области вблизи граничного импульса . (это достигается при достаточно низких температурах).

В первом приближении, тогда можно считать, что функционал можно заметить его значением, вычисленным для ступенчатого распределения. Тогда становится вполне определённой функцией импульса, а сводится к обычному распределению Ферми.

Таким образом, имеет физический смысл лишь в окрестности поверхность сферы Ферми, где она может быть разложена в ряд по степеням :

– скорость квазичастиц на поверхности сферы Ферми.

В идеальном газе

по аналогии можно положить, что для квазичастиц имеем

– эффективная масса квазичастиц

Тогда

ТЕМА №6

Дата добавления: 2014-01-03