Множества на плоскости

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть М – некоторое множество на плоскости.

Определения. 1. Точка х называется внутренней точкой множества М, если . 2. Точка называется внешней точкой множества М, если . 3. Точка называется граничной точкой множества М, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие М и не принадлежащие М.

4. Множество всех граничных точек называется границей М и обозначается .

5. Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

6. Множество называется замкнутым, если оно содержит свою границу.

7. Множество называется ограниченным, если .

8. Множество называется связным, если для любых двух его точек существует непрерывная кривая, которая их соединяет и целиком принадлежит множеству.

Примеры. 1. Открытые множества a) - круг без границы. b) - верхняя полуплоскость, не включающая ОХ.	Рис. 26	Рис. 27
2. Замкнутые множества a) - круг с границей (рис. 28). b) - верхняя полуплоскость, включающая ОХ (рис. 29). с) Одна точка ().	Рис. 28	Рис. 29
3. Плоскость и пустое множество Æ: эти множества являются одновременно открытыми и замкнутыми.   4. Множество не является ни открытым, ни замкнутым (рис. 30).	Рис. 30

5. На рис. 26 и 28 изображены ограниченные множества, на рис. 27, 29, 30 – не ограниченные.

6. a) Множества, изображенные на рис. 26-30, являются связными. b) Кольцо - связное множество (рис. 31).	Рис. 31
с) - несвязное множество (две непересекающиеся окружности) (рис. 32).	Рис. 32

Определение. Ограниченное замкнутое множество называется компактом (компактным).

Определение. Открытое связное множество называется областью.

Примеры:

1) Множество открытое, связное, незамкнутое: область, не компакт.	Рис. 33
2) Множество замкнутое, ограниченное, неоткрытое: компакт, не область.	Рис. 34
3) , (множество точек на плоскости с рациональными координатами) Множество замкнутое, неоткрытое, неограниченное, несвязное: не компакт, не область.	Рис. 35
4) (вся плоскость) Множество открытое, замкнутое, неограниченное, связное: область, не компакт.	Рис. 36

Дата добавления: 2017-01-14