Дифференцируемая функция нескольких переменных

Пусть , для функции в точке , выберем приращение аргумента и найдем приращение функции . Имеем:

при (1)

Соотношение (1) Û .

Пусть , рассмотрим функцию двух переменных . При зададим приращения , , тогда .

Определение. Функция дифференцируема в точке , если можно представить в виде при .

Здесь , – константы, , означает, что точка с координатами .

Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

○ , ,

,

, – константы, Þ , , , , тогда , т.е. - функция непрерывна в точке . ●

Примечание. Обратное утверждение неверно.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в точке существуют частные производные функции .

○ Т.к. функция дифференцируема, то , где , при .

Частное приращение . При , , . Тогда .

Аналогично доказывается, что

. ●

Примечание. Обратное утверждение неверно.

Примеры. 1. .

– функция непрерывна в точке . – не существует , – не существует . Функция непрерывна, но не дифференцируема.	Рис. 50
2. , , Существуют частные производные, но не дифференцируема в точке , т.к. в функция принимает как значение 0, так и значение 1 Þ она разрывна в точке .	Рис. 51

Наличие частных производных в точке не гарантирует дифференцируемость в этой точке.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Пусть функция определена в . Пусть существуют частные производные и , . Пусть и – непрерывны в точке . Тогда дифференцируема в точке . (без доказательства).

Итог: ,

			непрерывна в точке
			↑
и непрерывны в точке	Þ	дифференцируема в точке	Þ	существуют ,

Дата добавления: 2017-01-14