Теорема Шварца

Частные производные высших порядков

Геометрический смысл частных производных

Частные производные

Пусть точка , , функция задана в .

Обозначим через приращение независимой переменной , пусть – частное приращение функции по координате . Составим отношение .

Определение. Частной производной функции по в точке называется (если он существует).

Обозначение: , .

Пример.

; .

Пример. , .

; ; .

Пусть , функция двух переменных определена при и существуют частные производные

,

.

Зафиксируем и рассмотрим функцию одной переменной . Ее графиком является линия пересечения поверхности с вертикальной плоскостью . Тогда – угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

Рис. 49

Аналогично при – угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

Пусть , функция имеет при частные производные , .

Пусть функции , имеют в частные производные. Это будут частные производные второго порядка функции :

, , , . Если эти функции имеют частные производные, то это будут частные производные третьего порядка функции и т.д.

Аналогично можно определить производные любого порядка для функции переменных .

Например

, .

Пример.

, , ,

, ,

, ,

, ,

, , , , , – смешанные производные, в общем случае, при некотором дополнительном условии: , , .

Теорема (о равенстве смешанных производных). Пусть . Пусть в существуют частные производные , и , (смешанные производные). Пусть , . Тогда = (без доказательства).

Дата добавления: 2017-01-14