Функции, непрерывные на множестве

Повторные пределы

Предел по множеству

Определение. Рассмотрим множество . Точка называется предельной точкой множества , если в , .

Пример. , . – множество предельных точек М, (круг с границей). В малой проколотой окрестности точки нет точек из М Þ – изолированная точка множества . Предельная точка может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Рис. 45

Определение. (предел по множеству ) Û

.

Примечание. Частные пределы , – пределы по множеству, которое является отрезком, параллельным одной из координатных осей.

Пусть , функция определена при .

Рассмотрим – предел по совокупности переменных и или – повторные пределы.

Теорема. Если существует предел по совокупности переменных и существуют и , то существуют повторные пределы (без доказательства). Примечание. Обратное утверждение неверно.

Рис. 46

Пример. , .

, аналогично – $ повторные пределы.

– зависит от Þ предел по совокупности переменных не существует.

Рис. 47

Пусть функция определена на множестве .

Говорят, что функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке множества в смысле предела по множеству, т.е. если точка , то .

Пример. . .

Рис. 48

Для функций нескольких переменных справедливы теоремы, аналогичные теоремам о функциях, непрерывных на отрезке.

Первая теорема Вейерштрасса: Пусть функция , – компакт. Тогда ограничена на .

Вторая теорема Вейерштрасса: Пусть , – компакт. Тогда существуют точки и , . Т.е. функция достигает свои минимальное и максимальное значения.

Теорема Коши о промежуточном значении: Пусть , – связное множество, точка , , точка , , . Тогда : .

Дата добавления: 2017-01-14