Точки экстремума функции нескольких переменных

Формула Тейлора

При , функцию можно представить в виде 1)

Рис. 56

Приращение функции представимо в виде

2) .

Пусть , функция . Имеем: , , точка принадлежит окрестности точки . 1) 2)

Рис. 57

.

Пример. , ().

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Разложим функцию по формуле Тейлора второго порядка:

.

Рассмотрим функцию n переменных , . Зафиксируем точку , пусть определена в .

Определение 1.

§ – точка строгого локального максимума функции , если : ;

§ – точка строгого локального минимума функции , если : ;

§ – точка нестрогого локального максимума функции , если : ;

§ – точка нестрогого локального минимума функции , если : .

Определение 2. Точки из определения 1 называются точками экстремума.

Ниже приведены различные виды экстремумов при .

Рис. 58

Определение. . Пусть дифференцируема в точке . Точка называется точкой стационарности функции , если , (если в точке все частные производные равны 0).

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если – точка экстремума функции , то – точка стационарности функции , т.е. все частные производные первого порядка в этой точке равны 0.

○ Пусть – точка экстремума функции . Зафиксируем все координаты аргумента функции , начиная со второй: . Тогда функция одной переменной имеет экстремум в точке Þ (по теореме Ферма). Для остальных координат доказательство проводится аналогично. ●

Геометрический смысл теоремы. Пусть , функция имеет точку экстремума . Составим уравнение касательной плоскости в этой точке: . Получаем: или , т.е. касательная плоскость параллельна плоскости .

Рис. 59

Примечание. Доказанное условие не является достаточным. Пример. Функция , имеет точку стационарности : , . Эта точка не является точкой экстремума, поскольку в любой окрестности точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.	Рис. 60
Примечание. Функция может иметь экстремум в тех точках, в которых она не дифференцируема. Пример. Функция не дифференцируема в точке , но имеет в этой точке строгий локальный минимум.	Рис. 61

Дата добавления: 2017-01-14