Частные пределы функции нескольких переменных

Непрерывность функций нескольких переменных

Предел функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных: определение и примеры

Рассмотрим область , , , поставим в соответствие число , . Скажем, что задана функция переменных. Графиком функции называется множество точек в с координатами .

Примеры:

1) , , , график функции принадлежит .	Рис. 37
2) , , график функции принадлежит .	Рис. 38
3) , график функции – параболоид.	Рис. 39
4) , график – полусфера радиуса 1 с центром в начале координат.	Рис. 40
5) . График функции – координатная плоскость XOY, из которой вырезаны оси координат OХ и OY и подняты на 1 вверх.	Рис. 41

Пусть в задана функция , . Число называется пределом функции в точке , если ().

Здесь Û .

Справедливы теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций, аналогичные одномерному случаю.

Пусть функция определена при . Говорят, что непрерывна в точке , если .

Справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций, аналогичные одномерному случаю.

Теорема (о непрерывности сложной функции).

Пусть при заданы функции , , …, ;

функции , , непрерывны в точке ;

, , …, ;

Функция непрерывна в точке .

Тогда непрерывна в точке .

Пусть , , . Рассмотрим следующие пределы:

1. – предел по совокупности переменных.

2. Зафиксируем одну из координат

1) ,	частные пределы
2) ,

Предел по совокупности переменных: рассматриваем все точки из .	Рис. 42
Частные пределы: рассматриваем значение функции только на вертикали или на горизонтали диаметра .	Рис. 43

Теорема. Если существует , то существуют и . ○ Зафиксируем .

Рис. 44

Þ Þ .

Аналогично для второй переменной. ●

Примечание. Обратное утверждение неверно! Если существуют частные пределы, это не значит, что существует предел по совокупности.

Пример. (см. рис. 41). Имеем:

	Существуют частные пределы, но не существует

Аналогично случаю можно определить частные пределы

, .

Теорема. Если существует предел , то существуют частные пределы , .

Дата добавления: 2017-01-14