Касательная плоскость

Дифференциал функции нескольких переменных

Для , , дифференцируемость в точке означает: при , для независимой переменной , дифференциал функции .

При , рассмотрим функцию в .

Определение. Дифференциалами независимых переменных , называются , , соответственно. Обозначение , .

Определение. Дифференциалом функции называется .

Пусть дифференцируема в точке . Тогда

, ;

, ;

, ;

, .

Свойства дифференциала:

1. - дифференцируемая линейная функция и .

2. , , если , – главная часть приращения функции .

Пример. Заменив приращение функции дифференциалом, вычислить величину .

, , ,

,

,

,

.

Пусть n – произвольное натуральное число. Рассмотрим функцию n переменных в окрестности точки .

Предположим, что дифференцируема в точке . Тогда

1) , ;

2)

.

Свойства:

1) – линейная функция , , …, ;

2) – главная часть приращения при условии, что , .

Пусть . Если функция дифференцируема в точке , то – угловой коэффициент касательной l, – касательный вектор к данной кривой в данной точке.	Рис. 52
Пусть . Если функция дифференцируема в точке , то, полагая или , можно рассмотреть функции одной переменной , и составить касательные векторы , .	Рис. 53

Определение. Плоскость, проходящая через точку параллельно векторам и , называется касательной плоскостью к данной поверхности в данной точке.

Построим уравнение касательной плоскости. Возьмем произвольную точку .Если эта точка принадлежит касательной плоскости, то векторы , и компланарны Þ смешанное произведение трех векторов равно 0:

;

.

Получаем уравнение касательной плоскости

, где .

Дата добавления: 2017-01-14