Геометрический смысл дифференциала

Производная сложной функции двух переменных

Дифференциалы высших порядков

Производная сложной функции

Теорема. Пусть функции дифференцируемы в точке .

Обозначим , пусть дифференцируема в точке .

Тогда дифференцируема в точке . Причем,

.

○ По приращению , находим . Поскольку функция дифференцируема в точке Þ , где

. (1)

Если , то и , и , и .

Перейдем в выражении (1) к пределу при :

.●

Пример. , , , .

, .

,

, ; , .

Находим: .

Пусть функция имеет непрерывные частные производные до порядка р включительно ().

– дифференцируема (существуют непрерывные частные производные).

– (по теореме Шварца).

Для функции n переменных , дифференциал

.

Тогда дифференциал порядка р равен

,

где – оператор дифференцирования.

При дифференциал второго порядка функции равен

.

Если , то дифференциал третьего порядка

.

18. Производная сложной функции в случае n переменных

Пусть функция n переменных определена и дифференцируема в точке , функции

– дифференцируемы в точке , причем , .

Тогда сложная функция одной переменной дифференцируема в точке и справедлива формула

.

Пусть , , функции

– дифференцируемы в области .

Тогда функция дифференцируема в , причем

При для функции одной переменной дифференциал функции и его геометрический смысл рассматривались в части 1 (см. главу 2, раздел 52).	Рис. 54
При рассмотрим функцию двух переменных , дифференцируемую в точке . Дифференциал функции равен . Уравнение касательной плоскости в точке . Геометрический смысл дифференциала: – приращение аппликаты касательной плоскости.	Рис. 55

Дата добавления: 2017-01-14