Методы решения задачи Коши

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) описывается множество физических явлений: задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов и многие другие. Некоторые важные задачи также сводятся к уравнениям в частных производных. Таким образом, решение ОДУ занимает важное место среди прикладных задач физики, химии и техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, однако ОДУ -го порядка

(7.1)

можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка путем введения новых переменных : (7.2)

где . Поэтому очень важно уметь решать ОДУ первого порядка.

Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши (задача с начальными условиями), краевые задачи и задачи на собственные значения. Ограничимся рассмотрением методов только первых двух задач. При этом будем предполагать, что решение существует, единственно и обладает необходимым свойством гладкости, т.е. искомая функция столько раз может быть продифференцирована, сколько это необходимо.

Для решения задачи Коши рассмотрим ОДУ первого порядка, тогда формулировка задачи выглядит следующим образом: требуется найти непрерывную при функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(7.3)

и начальному условию

,(7.4)

где – известная функция двух аргументов. Если функция определена в прямоугольнике удовлетворяет в области по переменной условию Липшица:

(7.5)

для всех и , то задача (7.3) имеет единственное решение.

Для решения задачи Коши введем по переменному равномерную сетку с шагом , т.е. рассмотрим множество точек . Будем обозначать через точное решение, а через – приближенное. Отметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки .

Рассмотрим простейшие численные методы, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение и требуется вычислить значение . Рассмотрим равенство

. (7.6)

Считая промежуток достаточно малым, заменим интеграл в правой части по формуле левых прямоугольников на , при этом погрешность будет иметь порядок . Получим

,(7.7)

т.к. , то

. (7.8)

Принимая, что и , получаем явную формулу Эйлера для решения задачи Коши

.

(7.9)

Аналогично, используя формулу правых прямоугольником для аппроксимации интеграла в (7.6), получим неявную формулу Эйлера

(7.10)

Для получения более точной расчетной формулы необходимо более точно аппроксимировать интеграл в правой части (7.6). Воспользуемся формулой трапеций с погрешностью , (7.11)

что с учетом (7.3) приводит к соотношению

(7.12)

Полученная расчетная формула называется неявной формулой Адамса второго порядка точности

(7.13)

В некоторых случаях, когда линейна по , уравнение (7.13) может быть разрешено относительно . Обычно же это уравнение неразрешимо явно, поэтому используют следующий алгоритм нахождения решения, использующий метод простой итерации,

.

Здесь – номер итерации, а начальное приближение можно определить по явной формуле Эйлера

.

Фактически необходимо сделать одну или две итерации для достижения заданной точности.

Дата добавления: 2017-01-14