Под знак дифференциала

Интегрирование методом подведения функции

Метод непосредственного интегрирования

Свойства неопределенного интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции на множестве X, если для всех .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Таким образом, по определению , где С – произвольная постоянная.

Правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием первообразной:

Таблица основных интегралов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Суть метода состоит в том, чтобы с помощью свойств интегралов и тождественных алгебраических преобразований подынтегрального выражения привести данный интеграл к табличному.

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Числитель почленно разделим на x. Применим 2° свойство неопределенного интеграла и формулы 1 и 2 таблицы интегралов.

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами 2° и 3° и применим формулы 4 и 5 таблицы неопределенных интегралов.

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

1. Подведение под знак дифференциала выражения вида

При нахождении интегралов используется равенство . Интеграл принимает вид:

.

Пример1. Найти интеграл

Решение.

Воспользовались формулой 6, где .

Пример2. Найти интеграл Решение.

2. Подведение функции под знак дифференциала

Пример1. Найти интеграл

Решение. Выполняется равенство . В данном интеграле вместо запишем и применим формулу 5, где :

Пример2. Найти интеграл

Решение. Подведем под знак дифференциала функцию . Найдем дифференциал от этой функции: . В данном интеграле сделаем замену :

В последнем интеграле воспользовались формулой 1, где .

4. Интегралы

сводятся к табличным интегралам следующим приёмом.

В числителе выделяем производную квадратного трёхчлена

.

Тогда .

В знаменателе второго интеграла выделяют полный квадрат и используют формулы 7 или 8.

Если в знаменателе корень из квадратного трёхчлена, то аналогичные преобразования приведут к интегралам типа и использованию формул 9 или 10.

Пример 1. Найти интеграл

Решение. В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат и по формуле 7 получим:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Выделим в числителе производную квадратного трёхчлена: , Получим:

Дата добавления: 2017-01-13